ベイトマン関数

数学において、ベイトマン関数（またはk関数）は、ハリー・ベイトマン（1931年）によって研究された合流型超幾何関数の特殊な場合である。^{[ 1 ] [ 2 ]} ベイトマンはそれを次のように定義した。

${\displaystyle \displaystyle k_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\cos(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .}$

ベイトマンはこの関数を、セオドア・フォン・カルマンが乱流理論に現れる次の微分方程式の解を求めた際に発見した^{[ 3 ]。}

${\displaystyle x{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=(x-\nu )u}$

そしてベイトマンはこの関数を解の一つとして発見した。ベイトマンはこの関数をセオドア・フォン・カルマンに敬意を表して「k」関数と名付けた。

Bateman関数${\displaystyle x>0}$これは、第二種合流型超幾何関数と以下のように関連している。

$${\displaystyle k_{\nu }(x)={\frac {e^{-x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{2}}\nu \right)}}U\left(-{\frac {1}{2}}\nu ,0,2x\right),\quad x>0.}$$

これは、薬物動態学で使用される同名の別の関数と混同してはならない。

ベイトマン関数を補完するものとして、トーマス・ヘンリー・ハブロックにちなんで名付けられたハブロック関数も定義できる。実際、ベイトマン関数とハブロック関数はどちらも、ハブロックが1927年に、水没した円柱を通過する均一流の表面標高を研究している際に初めて導入された^{[ 4 ]}。ハブロック関数は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle h_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .}$

• ${\displaystyle k_{0}(x)=e^{-|x|}}$
• ${\displaystyle k_{-n}(x)=k_{n}(-x)}$
• ${\displaystyle k_{n}(0)={\frac {2}{n\pi }}\sin {\frac {n\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle k_{2}(x)=(x+|x|)e^{-|x|}}$
• ${\displaystyle |k_{n}(x)|\leq 1}$実際の値の場合${\displaystyle n}$そして${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle k_{2n}(x)=0}$のために${\displaystyle x<0}$もし${\displaystyle n}$正の整数です
• ${\displaystyle k_{1}(x)={\frac {2x}{\pi }}[K_{1}(x)+K_{0}(x)],\ x<0}$、 どこ${\displaystyle K_{n}(-x)}$これは第2種変形ベッセル関数である。