バートレット検定

統計学では、モーリス・スティーブンソン・バートレットにちなんで名付けられたバートレット検定^[1]は、等分散性、つまり複数の標本が等しい分散を持つ母集団から抽出されているかどうかを検定するために使用されます。^[2]分散分析などの一部の統計検定では、分散がグループ間または標本間で等しいと仮定しており、これはバートレット検定で確認できます。

バートレット検定では、帰無仮説と対立仮説を構築します。この目的のために、いくつかの検定手順が考案されています。ここでは、MSE (平均二乗誤差/推定値) バートレット検定による検定手順を示します。この検定手順は、標本分布が ( k − 1) の自由度を持つカイ二乗分布にほぼ等しい統計量に基づいています。ここで、k はランダム標本の数で、標本のサイズはさまざまで、それぞれが独立した正規分布から抽出されます。バートレット検定は、正規性からの逸脱に敏感です。つまり、標本が非正規分布から取得される場合、バートレット検定は単に非正規性を検定している可能性があります。レヴィーンの検定とブラウン・フォーサイス検定は、バートレット検定の代替であり、正規性からの逸脱に対する感度が低い検定です。^[3]

バートレット検定は、すべてのk 個の母集団分散が等しいという帰無仮説H _{0 を}、少なくとも 2 つが異なるという対立仮説に対して検定するために使用されます。

k個の標本があり、その大きさと標本分散が一定である場合、バートレットの検定統計量は ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}^{2}}$

${\displaystyle \chi^{2}={\frac {(Nk)\ln(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{Nk}}\right)}}}$

ここで、およびは分散のプールされた推定値です。 ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$${\displaystyle S_{p}^{2}={\frac {1}{Nk}}\sum _{i}(n_{i}-1)S_{i}^{2}}$

検定統計量は近似的に分布します。したがって、 （分布の上側裾の臨界値）の場合、帰無仮説は棄却されます。 ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$${\displaystyle \chi ^{2}>\chi _{k-1,\alpha }^{2}}$${\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2}}$${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$

バートレット検定は、分布への近似度を高めるために設計された、対応する尤度比検定の修正版です(Bartlett、1937)。 ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$

検定統計量は、10を底とする対数で次のように表記されることがある。^[4]

${\displaystyle \chi^{2}=2.3026{\frac {(Nk)\log _{10}(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\log _{10}(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{Nk}}\right)}}}$

• ボックスのM検定
• リービンのテスト
• カイザー・マイヤー・オルキン検定

• バートレットテストに関するNISTのページ