バーンズゼータ関数

数学において、バーンズゼータ関数は、 E.W.バーンズ（1901年）によって導入されたリーマンゼータ関数の一般化である。これはさらに、新谷ゼータ関数によって一般化される。 

バーンズゼータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}}$

ここで、 wとa _jは正の実部を持ち、sはNより大きい実部を持つ。 

これは、すべての複素数sに対して有理型接続を持ち、その唯一の特異点はs = 1, 2, ..., Nにおける単純極である。N = w = a ₁ = 1 の場合、これはリーマンゼータ関数である。      

• Barnes, EW (1899)、「二重ガンマ関数の理論 [要旨]」、Proceedings of the Royal Society of London、66、The Royal Society: 265–268、doi : 10.1098/rspl.1899.0101、ISSN 0370-1662、JSTOR 116064、S2CID 186213903   
• Barnes, EW (1901)、「二重ガンマ関数の理論」、Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character、196 ( 274–286 )、The Royal Society: 265–387、Bibcode : 1901RSPTA.196..265B、doi : 10.1098/rsta.1901.0006、ISSN 0264-3952、JSTOR 90809  
• Barnes, EW ( 1904)、「多重ガンマ関数の理論について」、Trans. Camb. Philos. Soc.、19 : 374–425
• フリードマン、エドゥアルド。 Ruijsenaars、Simon (2004)、「Shintani – Barnes zeta and gamma function」、Advances in Mathematics、187 (2): 362–395、doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020、ISSN 0001-8708、MR 2078341  
• Ruijsenaars、SNM (2000)、「On Barnes' multiple zeta and gamma function」、Advances in Mathematics、156 (1): 107–132、doi : 10.1006/aima.2000.1946、ISSN 0001-8708、MR 1800255