アナモルフィックストレッチ変換

アナモルフィック ストレッチ変換( AST ) は、ワープ ストレッチ変換とも呼ばれ、時間ストレッチ分散フーリエ変換から生まれた物理学にヒントを得た信号変換です。この変換は、通信信号などのアナログ時間信号、または画像などのデジタル空間データに適用できます。^{[1] [2]この変換は、出力が}データ圧縮と分析に適した特性を持つようにデータを再形成します。再形成は、フーリエ領域でのワープ ストレッチで構成されます。「アナモルフィック」という名前は、ワープ ストレッチ操作と、アナモルフォーシス^[3]およびシュールレアリストの芸術作品における画像のワープとの比喩的な類似性から使用されています。^[4]

アナモルフィックストレッチ変換（AST）^{[5] [6]}は、アナログまたはデジタルデータをコンテキストに応じて伸縮させ、非均一なフーリエ領域サンプリングを行う数学的変換である。この変換は次のように定義される。

${\displaystyle AST\left\{{\tilde {E}}_{in}(\omega )\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}d\omega }}$

ここで、は入力光スペクトル、は AST (は AST ワープ カーネル)によって追加されたスペクトル位相、および はそれぞれ光変調周波数とエンベロープ変調周波数を表します。再形成の詳細は、入力信号のスパース性と冗長性によって決まり、数学関数によって取得できます。この関数は、「ストレッチ変調分布」または「変調強度分布」と呼ばれます (機械診断で使用される同じ名前の別の関数と混同しないでください)。 ${\textstyle {\チルダ {E}}_{in}(\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$${\textstyle e^{j\phi (\omega )}}$${\textstyle \omega }$${\textstyle \omega _{m}}$${\displaystyle (S_{M})}$

${\displaystyle S_{M}\left(\omega _{m},T\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}e^{j\omega T}d\omega }}$

ストレッチ変調分布は、他の時間周波数分布と似ているが同じではない、一種の双線形時間周波数分布の 3D 表現です。 ^{[7] [8] [9] [10]}追加された位相項は、信号のスペクトル自己相関に対する時間シフトの影響を表すと解釈できます。その結果、分布を使用して、出力信号の時間的持続時間と強度エンベロープ帯域幅に対する AST スペクトル位相の影響を示すことができ、信号の時間帯域幅積を視覚化するのに役立ちます。^[11]${\textstyle e^{j\omega T}}$${\displaystyle S_{M}}$${\displaystyle \phi (\omega )}$

AST は、さまざまなスペクトル特性にカスタマイズされたグループ分散を適用します。^{[11] [12] [13] [14]}グループ遅延分散を特定の対象信号のスペクトルに一致させることにより、カスタマイズされた方法で周波数から時間へのマッピングを実行します。スペクトルの情報量が多い部分は、スペクトルのまばらな領域よりも時間的に引き伸ばされるため、時間ストレッチ ADCテクノロジで使用される方法論と同様に、リアルタイムのアナログ/デジタル コンバータ(ADC) でキャプチャしやすくなります。この特性は、「自己適応ストレッチ」と呼ばれています。この操作は信号のスペクトルに固有のものであるため、信号の瞬間的な時間領域の動作に関する知識は必要ありません。したがって、リアルタイムの適応制御は必要ありません。AST のパラメータは、対象アプリケーションで対象の信号ファミリの統計的スペクトル (瞬間的ではない) プロパティを使用して設計されます。^[15]パラメータが設計されると、信号の瞬間的な値に応答する必要はありません。結果として得られる非均一サンプリングでは、信号の情報量の多い部分が疎な領域よりも高いレートでサンプリングされるため、データ圧縮に利用できます。他のデータ圧縮方法と同様に、ASTを使用して達成できる最大圧縮は信号に依存します。^[14]

この圧縮方法の再構成精度と非可逆性については、以前に分析されています。^[14]このシステムは、信号のスペクトル時間構造を再形成して、ほぼすべての信号エネルギーが取得システムのリアルタイムデジタイザの帯域幅内に収まるようにします。帯域幅が限られていることと、デジタイザの有効ビット数(ENOB) で測定される解像度が限られているため、再構成は決して理想的なものではなく、したがって、これは非可逆圧縮方法です。このため、実際には適度な圧縮しか実現できません。

あるいは、必要な情報が入力信号の時間エンベロープではなくスペクトルエンベロープにエンコードされている場合、再構成プロセスは大幅に簡素化されます。このようなシナリオでは、設計されたワープカーネルを与えられた測定出力を直接デワーピングするだけで、真の出力を再構成できます。これは、光学画像圧縮で実験的に達成されています。^[16]

2Dで実行され、デジタル画像に適用されるASTのデジタル実装（DAST）では、適切に設計されたワープカーネルが入力を伸張して、全体的な空間帯域幅を減らし、したがってサンプリング要件を減らします。ASTの前の式は、DASTの離散形式で次のように書き直すことができます 。 ${\displaystyle {\breve {B}}[n,m]=\left|\sum _{k_{1},k_{2}=-\infty }^{\infty }K\left[n-k_{1},m-k_{2}\right]\cdot B\left[k_{1},k_{2}\right]\right|^{N}}$

ここで、はワープ カーネルのデジタル バージョンです。1 次元の時間波形の場合と同様に、ワープされた波形は、単純な均一ダウンサンプリングで以前に可能だったものよりも低いレートでサンプリングできます。この特性は「特徴選択ストレッチング」と呼ばれ、デジタル画像圧縮に使用できます。DAST には、(1) 画像再構成、(2) ワープ カーネルの設計という 2 つの課題があります。ワープ マッピングは通常、周波数領域で実行されます。フーリエ変換による空間画像の再構成 (逆マッピング) には、ワープされた画像の振幅に加えて位相の知識が必要です。元の AST ^[5]および DAST の論文^[17]では、理想的な位相回復がワープ変換の有用な影響を示すと想定されていました。ただし、前述のように、位相回復と信号再構成は信号対雑音比 (SNR) に依存することも示されています。^[14]有限の SNR は、位相回復とデータ圧縮の品質を低下させます。この課題のため、アナモルフィック データ圧縮の実用的な実装はまだ実現されていません。適切なカーネルを見つけるという課題に関しては、最近アルゴリズムが報告されました。^[15]${\textstyle K[n,m]=e^{j\phi [n,m]}}$

上で述べた簡略化された再構成アプローチと同様に、直接ワーピングを使用する画像圧縮のデジタル実装も最近報告されています。^[18]この代替データ圧縮方法では、時間信号に対するグループ速度分散の影響をエミュレートするプロセスで、データの情報に富んだ部分が拡張されます。このコーディング操作を使用すると、ワーピング情報の送信のオーバーヘッドを考慮しても、コーディング操作を行わない場合よりも低いレートでデータをダウンサンプリングできます。以前のワープストレッチ圧縮の実装とは対照的に、ここでは位相回復を必要とせずにデコードを実行できます。

位相ストレッチ変換(PST) は、信号および画像処理に対する計算アプローチです。そのユーティリティの 1 つは、特徴の検出と分類です。位相ストレッチ変換と AST はどちらも、設計された 3D 分散特性 (屈折率) を持つ回折媒体を介した伝播をエミュレートすることで画像を変換します。2 つの数学演算の違いは、AST は変換後の複素振幅の大きさを使用するのに対し、位相ストレッチ変換は変換後の複素振幅の位相を使用することです。また、フィルター カーネルの詳細は 2 つのケースで異なります。

アナモルフィック（ワープ）ストレッチ変換は、信号のサイズを比例的に増やすことなく信号帯域幅を削減する物理ベースの数学的操作であり、空間帯域幅積の圧縮を提供します。デジタル実装では、ピクセル密度の不均一な割り当てによって物理的効果をエミュレートします。この操作は、従来の画像圧縮技術を強化する前処理操作として使用できます。^[19]

この非可逆変換により、センサーとデジタイザーの速度よりも速い信号をキャプチャしてデジタル化できるだけでなく、プロセスで生成されるデータの量を最小限に抑えることもできます。この変換により、信号は、シャープな特徴が粗い特徴よりも引き伸ばされるように再形成されます (フーリエ領域で)。その後の均一なサンプリングにより、最も必要とされるシャープなスペクトル特徴にデジタル サンプルが多く割り当てられ、冗長になるスペクトルのまばらな部分にはデジタル サンプルが少なくなります。再構成の精度は信号対雑音比に左右され、決して理想的ではありません。

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