従順な数

従順な数とは、元の数と同じ数の整数の多重集合が存在し、それらの和が元の数になり、掛け合わせると元の数になる正の整数のことです。代数的に言えば、正の整数nに対して、等式が成り立つn 個の整数の多重集合{ a ₁ , ..., a _n } があり ます。多重集合には負の数も許容されます。たとえば、5 は 5 = 1 + (−1) + 1 + (−1) + 5 なので従順です。4 を除き、0 または 1 (mod 4) と一致するすべての数だけが従順です。(Tamvakis & Lossers 1998) $${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$$

最初のいくつかの適用可能な数字は、1、5、8、9、12、13 ... OEIS : A100832です。

n = 4 k + 1という形式の整数の解は、2 k (+1) と 2 k (-1) の集合とn自身で与えられます。(これは、上記の 5 の例を一般化したものです。)

定義からは明らかではありませんが、従順な数の集合は乗算に対して閉じています (2 つの従順な数の積は従順な数です)。

多重集合の長さが任意であれば、すべての合成数は扱えるでしょう。なぜなら、他の解法が利用できるとしても、素因数分解（指数ではなく因数の繰り返しで表現）を行い、 nになるまで必要なだけ 1 を加えることで、常に解を得ることができるからです。この整数集合の積は、集合内に 1 がいくつあってもn になります。さらに、この仮定の下では、任意の整数nが扱えます。 nの非簡潔な解{1, −1, 1, −1, n } を考えてみましょう。和では、正の数が負の数によって打ち消されてnが残りますが、積では、 2 つの負の数によって符号の影響が打ち消されます。

従順な数を、互いに約数を足し合わせる整数のペアである 友好的な数と混同しないでください。

• Mathworld の「Amenable Numbers」のエントリ
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A100832 (従属数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
• Tamvakis, H. (1995)、「問題 10454」、アメリカ数学月刊誌、102 :463、doi :10.2307/2975042
• Tamvakis, H.; Lossers, OP (1998)、「問題 10454 の解決。従属可能な数」、American Mathematical Monthly、105 : 368、doi :10.2307/2589724