アルファベータ変換

電気工学において、アルファベータ( )変換(クラーク変換 とも呼ばれる) は、三相回路の解析を簡素化するために使用される数学的変換です。概念的には、 dq0 変換に似ています。この変換の非常に有用な応用例の 1 つは、三相インバータの空間ベクトル変調制御に使用される基準信号の生成です。 ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

1937年と1938年に、エディス・クラークは不平衡三相問題の計算方法を改良した論文を発表し、それが特に有用であることが判明した。^[1]

エディス・クラークが用いた三相電流に適用された変換は[ ^{2]である。}${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

ここで、は一般的な三相電流シーケンスであり、 は変換によって与えられる対応する電流シーケンスです。逆変換は次のようになります。 ${\displaystyle i_{abc}(t)}$${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

上記のクラーク変換は、それが適用される電気変数の振幅を保存します。実際、3相対称の直流電流シーケンスを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

ここで、は、のRMSであり、は、一般性を失うことなくに設定することもできる一般的な時間変動角度です。次に、現在のシーケンスに 適用すると、次のようになります。${\displaystyle I}$${\displaystyle i_{a}(t)}$${\displaystyle i_{b}(t)}$${\displaystyle i_{c}(t)}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle \omega t}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

ここで、平衡電流を考慮したので、最後の式が成り立ちます。上記で示したように、基準フレーム内の電流の振幅は、自然基準フレーム内の電流の振幅と同じです。 ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

上に示した変換でクラーク領域で計算された有効電力と無効電力は、標準基準フレームで計算されたものと同じではありません。これは、がユニタリではないために起こります。有効電力と無効電力を保存するには、代わりに以下を考慮する必要があります。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

これはユニタリ行列であり、その逆行列はその転置行列と一致する。^[3] この場合、変換された電流の振幅は標準参照フレームの振幅と同じではない。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

最後に、この場合の逆変換は

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

バランスのとれたシステムでは、簡略化された変換も考えることができる^{[4] [5]}${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

これは単純に第3方程式を除いた元のクラーク変換であり、

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}}$

これは対応する逆変換です。

この変換は、3 つの相量 (電圧または電流) を 2 つの固定軸 (アルファ軸とベータ軸) に投影したものと考えることができます。ただし、システムがバランスしていれば、方程式は変換の の方程式と等しくなるため、情報は失われません。システムがバランスしていない場合、項には投影の誤差成分が含まれます。したがって、 がゼロであれば、システムがバランスしていること (したがって、完全にアルファベータ座標空間に存在する) を示し、システムがバランスしているというこの仮定の下で実行される 2 つの座標計算では無視できます。これがクラーク変換の優れた点です。この仮定により、3 成分システムが 2 成分システムに縮小されます。 ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$${\displaystyle I_{\gamma }}$${\displaystyle I_{\gamma }}$${\displaystyle I_{\gamma }}$

これを理解する別の方法は、方程式がユークリッド 3 座標空間内の平面を定義することです。アルファ ベータ座標空間は、この平面によって定義される 2 つの座標空間として理解できます。つまり、アルファ ベータ軸は によって定義される平面上にあります。 ${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$

これはまた、クラーク変換を使用するには、システムのバランスが取れていることを確認する必要があることを意味します。そうでないと、その後の 2 つの座標計算に誤りが生じます。これは、3 つの位相量が測定され、測定エラーが発生する可能性があるアプリケーションでの実用的な考慮事項です。

変換は概念的には変換に似ています。変換は位相量を回転する 2 軸参照フレームに投影するのに対し、変換は位相量を静止した 2 軸参照フレームに投影するものと考えることができます。 ${\displaystyle dq0}$${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$${\displaystyle dq0}$${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

• 対称的なコンポーネント
• Y-Δ変換
• ベクトル制御（モーター）

一般的な参考文献