アキビス代数

数学、特に代数の研究において、アキビス代数は、アキビス恒等式と呼ばれる特定の関係を満たす二項演算子（交換子）と三項演算子（結合子）を備えた非結合代数です。ロシアの数学者マックス・A・アキビスにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle [x,y,z]}$

正式には、 が特性 0 の体上のベクトル空間である場合、演算が双線型かつ反可換であり、三線型演算子がアキビス恒等式を満たすとき、 はアキビス代数であると言います。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(x,y\right)\mapsto \left[x,y\right]}$${\displaystyle \left(x,y,z\right)\mapsto \left[x,y,z\right]}$

${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=\left[x,y,z\right]+\left[y,z,x\right]+\left[z,x,y\right]-\left[x,z,y\right]-\left[y,x,z\right]-\left[z,y,x\right].}$

を持つアキビス代数はリー代数です。アキビス恒等式はヤコビ恒等式に簡約されるからです。 の右辺の項は、 の偶順列に対しては正の符号を持ち、 の奇順列に対しては負の符号を持つことに注意してください。 ${\displaystyle \left[x,y,z\right]=0}$${\displaystyle x,y,z}$

およびを定義すれば、任意の代数（非結合的であっても）は Akivis 代数です。すべての Akivis 代数は、このように（非結合的である可能性のある）代数の部分代数として表すことができることが知られています（結合的代数の場合、結合子は恒等的にゼロであり、Akivis 恒等式は Jacobi 恒等式に簡約されます）。 ${\displaystyle \left[x,y\right]=xy-yx}$${\displaystyle \left[x,y,z\right]=(xy)z-x(yz)}$

• MR Bremner、IR Hentzel、LA Peresi、2005 年。「自由非結合代数の次元公式」。代数におけるコミュニケーション33:4063-4081。