フォークト効果

フォークト効果は、光学的に活性な媒体に送られた直線偏光を回転させて楕円化する磁気光学現象である。^{[1]この効果は、}蒸気で発見したドイツの科学者ヴォルデマール・フォークトにちなんで名付けられました。カー効果やファラデー効果など、磁化（または非磁性物質の場合は印加磁場）に比例する他の多くの磁気光学効果とは異なり、フォークト効果は磁化の2乗（または磁場の2乗）に比例し、実験的に垂直入射で見ることができます。この効果には他の名称もあり、現代の科学文献では互換的に使用されています。コットン・ムートン効果（数年後に液体で同じ効果を発見したフランスの科学者エメ・コットンとアンリ・ムートンにちなむ）と磁気線形複屈折で、後者は効果の物理的な意味を反映しています。

直線偏光した入射電磁波と面内偏光したサンプルの場合、反射ジオメトリでの回転の表現は次のようになります。 透過ジオメトリでは次のようになります。 ここで、は、Voigt パラメータ(Kerr 効果の場合と同じ)、材料の屈折率、およびVoigt 効果の原因となるパラメータに依存する屈折率の差であり、常磁性材料の場合は またはに比例します。${\displaystyle {\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}}$${\displaystyle {\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)}$${\displaystyle \delta \beta }$$${\displaystyle \delta \beta _{r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]}$$$${\displaystyle \delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}},}$$${\textstyle \Delta n={\frac {n_{\Parallel }-n_{\perp }}{2}}}$${\displaystyle Q=Q_{i}+iQ_{r}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle M^{2}}$${\displaystyle (\mu _{0}H)^{2}}$

詳細な計算と図解については、以下のセクションで説明します。

他の磁気光学効果と同様に、理論は、システムの固有値と固有ベクトルを計算する有効誘電テンソルを使用して標準的な方法で開発されます。通常どおり、このテンソルから、磁気光学現象は主に非対角要素によって記述されます。

ここで、z方向に伝播する入射偏光、すなわち電場と均一に面内磁化されたサンプル（結晶方向[100]から数える）を考察します。目的は、光と磁化の結合による偏光の回転がどこにあるかを計算することです。実験的には、はmradオーダーの小さな量であることに注目してください。は、飽和時の磁化で定義される縮小磁化ベクトルです。光伝播ベクトルが磁化面に対して垂直であるため、Voigt効果が見られるという事実を強調しました。 ${\displaystyle {\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}}$${\displaystyle {\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\vec {E_{r}}}=(\cos \beta +\delta \beta ,\,\sin \beta +\delta \beta ,\,0)e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}}$${\displaystyle \delta \beta }$${\displaystyle \delta \beta }$${\displaystyle {\vec {m}}}$${\displaystyle {\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}}$${\displaystyle M_{s}}$

Hubert の表記法^[2]に従うと、一般化された誘電 3 次テンソルは次の形式になります。 ここで は物質の誘電率、Voigt パラメータ、およびに依存する磁気光学効果を表す 2 つの 3 次定数です。は の縮小です。計算は を使用した球面近似で行われます。現時点では、^{[いつ? ]}この近似が有効でないという証拠はありません。これは、Voigt 効果が Kerr 効果に比べて極めて小さいため、その観測がまれであるためです。 ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$$${\displaystyle (1)\qquad \varepsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle m_{i}^{2}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle m_{i}=M_{i}/M_{s}}$${\displaystyle B_{1}=B_{2}}$

固有値と固有ベクトルを計算するために、次の規則に従ってマクスウェル方程式から導出された伝播方程式を考慮します。 ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega }$$${\displaystyle (2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\varepsilon {\vec {E}}}$$

磁化が伝播波数ベクトルに垂直な場合、カー効果とは逆に、の 3 つの成分すべてが 0 になる可能性があり、計算がかなり複雑になり、フレネル方程式は有効ではなくなります。問題を単純化する方法は、電場変位ベクトル を使用することです。 および なので、 となります。逆誘電テンソルは、扱いが複雑に思えるかもしれません。しかし、ここでは一般的なケースについて計算が行われました。 を考慮すると、簡単にデモンストレーションを追うことができます。 ${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0}$${\displaystyle {\vec {k}}\parallel {\vec {z}}}$${\displaystyle {\vec {D}}=(D_{x},D_{y},0)}$${\displaystyle \phi =0}$

固有値と固有ベクトルは、 上の伝搬方程式を解くことで求められます。この方程式は、次の連立方程式を与え ます。 ここで、 は誘電テンソル の逆要素、を表します。このシステムの行列式の簡単な計算の後、 の 2 次および の 1 次で展開する必要があります。これにより、2 つの屈折率に対応する 2 つの固有値が得られます。 ${\displaystyle {\vec {D}}}$$${\displaystyle (3)\quad {\begin{cases}(\varepsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\varepsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\varepsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{cases}}}$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{-1}}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle \varepsilon _{r}}$${\displaystyle n^{2}=\varepsilon }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle B_{1}}$$${\displaystyle n_{\parallel }^{2}=\varepsilon +B_{1}}$$ $${\displaystyle n_{\perp }^{2}=\varepsilon (1-Q^{2})}$$

および の対応する固有ベクトルは次のとおりです。 ${\displaystyle {\vec {D}}}$${\displaystyle {\vec {E}}}$

$${\displaystyle (4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\varepsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}}$$

物質内部の固有ベクトルと固有値がわかれば、実験で通常検出される反射電磁ベクトルを計算する必要があります。との連続方程式を使用します。ここで、 はマクスウェル方程式から によって定義される誘導です。 媒体内部では、電磁場は導出された固有ベクトル に分解されます。 解くべき方程式のシステムは次のとおりです 。${\displaystyle {\vec {E_{r}}}=(E_{rx},E_{ry},0)}$${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {H}}}$${\displaystyle {\vec {H}}}$${\textstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$${\displaystyle {\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }}$$${\displaystyle (5)\quad {\begin{cases}\alpha {\Big (}{\frac {D_{y\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{y\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{ry}=E_{0y}\\\\\alpha {\Big (}{\frac {D_{x\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{x\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{x\parallel }+\beta E_{x\perp }-E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{y\parallel }+\beta E_{y\perp }-E_{ry}=E_{0y}\end{cases}}}$$

この連立方程式の解は次のとおりです。 $${\displaystyle (6)\quad E_{rx}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\cos(\beta )+(n_{\perp }-n_{\parallel })\cos(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}}$$ $${\displaystyle (7)\quad E_{ry}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\sin(\beta )-(n_{\perp }-n_{\parallel })\sin(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}}$$

回転角と楕円角は、次の 2 つの式を使用して 比から定義されます。 ここで、 とはの実数部と虚数部を表します。 以前に計算した 2 つの要素を使用すると、次式が得られます。 これは、Voigt 回転について次式を与えます。 これは、、、実数の場合にも書き直すことができます。 ここで、は屈折率の差です。 したがって、 に比例する値が得られ、これは入射直線偏光に依存します。 適切な では、Voigt 回転は観察されません。およびであるため、は磁化の 2 乗に比例します。 ${\displaystyle \delta \beta }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \chi =E_{ry}/E_{rx}}$$${\displaystyle (8)\quad \tan 2\delta \beta ={\frac {2\operatorname {Re} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}}\qquad (9)\quad \sin(2\psi _{K})={\frac {2\operatorname {Im} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}},}$$${\displaystyle \operatorname {Re} (\chi )}$${\displaystyle \operatorname {Im} (\chi )}$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle (10)\qquad \chi ={\frac {(B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2})}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}{\frac {\sin[2(\phi -\beta )]}{\cos(\beta )^{2}}}+\tan(\beta ).}$$$${\displaystyle (11)\qquad \delta \beta =\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]\sin[2(\phi -\beta )],}$$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle (12)\quad \delta \beta ={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )],}$$${\displaystyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}}$${\displaystyle \Delta n}$${\displaystyle \phi -\beta }$${\displaystyle \Delta n}$${\displaystyle B_{1}\propto M_{s}^{2}}$${\displaystyle Q\propto M_{s}}$

透過におけるフォークト効果の回転の計算は、原理的にはファラデー効果の計算と同等です。実際には、この種の材料では吸収長が弱いため、この構成は一般に強磁性サンプルには使用されません。ただし、透過ジオメトリの使用は、光が材料内を容易に移動できる常磁性液体または結晶ではより一般的です。

常磁性体の計算は強磁性体の計算とまったく同じですが、磁化が磁場（または）に置き換えられます。便宜上、磁場は磁気光学パラメータの計算の最後に追加されます。 ${\displaystyle \mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}(\cos \phi ,\,\sin \phi )}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle \mathrm {A/m} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$

長さ L の媒体を伝播する送信電磁波について考えます。式 (5) から、およびについて次式が得られます。z = Lの 位置では、の式は次のようになります。 ここで、およびは前に計算した固有ベクトル、は2 つの屈折率の差です。回転は、比 から計算され、 では1 次、 では 2 次で展開されます。これにより、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\vec {E}}_{t}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle \alpha ={\frac {2E_{0}n_{\parallel }\cos(\theta -\phi )}{1+n_{\parallel }}}}$$ $${\displaystyle \beta ={\frac {2E_{0}n_{\perp }^{2}\sin(\theta -\phi )}{n_{\perp }+1}}}$$${\displaystyle {\vec {E}}_{t}}$$${\displaystyle (13)\quad {\vec {E}}_{t}=e^{-i\omega [t+{\frac {(n_{\parallel }+n_{\perp })L}{2c}}]}{\Big [}\alpha {\vec {E}}_{\parallel }e^{i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}+\beta {\vec {E}}_{\perp }e^{-i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}{\Big ]}}$$${\displaystyle {\vec {E}}_{\parallel }}$${\displaystyle {\vec {E}}_{\perp }}$${\displaystyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}}$${\displaystyle \chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle (14)\quad \chi ={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})(B_{1}+n_{0}Q^{2})\sin[2(\beta -\phi )]}{4cn_{0}(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})\Delta n\sin[2(\beta -\phi )]}{c~(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}}$$

再び、と光の伝播長に比例するものが得られます。 は、磁化の反射の幾何学に関して同様に に比例することに注目してください。 Voigt 回転を抽出するために、 、および実数を検討します。 次に、(14) の実数部を計算します。 得られた式は、(8) に挿入されます。 吸収がない近似では、透過幾何学における Voigt 回転について次式が得られます。 ${\displaystyle \Delta n}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Delta n}$${\displaystyle (\mu _{0}H_{0})^{2}}$${\displaystyle n_{0}=\eta +i~\kappa }$${\displaystyle Q=Q_{r}+i~Q_{i}}$${\displaystyle B_{1}}$$${\displaystyle (15)\quad \delta \beta =(\mu _{0}H)^{2}{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}}$$

ヴォイト効果の応用例として、大きなヴォイト効果が観測された磁性半導体(Ga,Mn)Asの例を挙げる。^[3]面内磁化を持つ材料の場合、低温(一般には)では、(Ga,Mn)Asは磁化が<100>方向(またはその近く)に沿って揃った二軸異方性を示す。 ${\displaystyle T<{\frac {T_{c}}{2}}}$

ヴォイト効果を含む典型的なヒステリシスサイクルを図 1 に示します。このサイクルは、直線偏光を [110] 方向に沿って入射角約 3° で送り (詳細は^[4]を参照)、反射光ビームの磁気光学効果による回転を測定することによって得られました。一般的な縦方向/極性カー効果とは対照的に、ヒステリシスサイクルは磁化に対して均一であり、これがヴォイト効果の特徴です。このサイクルは、垂直に非常に近い光入射で得られたもので、小さな奇数部分も示しています。ヴォイト効果に対応するヒステリシスの対称部分と縦方向カー効果に対応する非対称部分を抽出するには、正しい処理を行う必要があります。

ここで紹介したヒステリシスの場合、磁場は[1-10]方向に沿って印加されます。スイッチングメカニズムは次のとおりです。

1. 高い負の磁場から始まり、位置 1 では磁化は [-1-10] 方向に近くなります。
2. 磁場が減少し、1から2へのコヒーレント磁化回転が生じる。
3. 正の磁場では、磁化は核形成と磁区の伝播によって2から3に急激に切り替わり、ここで呼ばれる最初の抗磁場が生じる。${\displaystyle H_{1}}$
4. 磁化は、印加磁場の方向からより近い状態 4 にコヒーレントに回転しながら、状態 3 に近い状態を維持します。
5. 再び磁化は核形成と磁区の伝播により4から5に急激に切り替わります。この切り替えは、最終的な平衡位置が状態4に対して状態5からより近い（したがって磁気エネルギーが低い）という事実によるものです。これにより、と呼ばれる別の保磁力が生じます。${\displaystyle H_{2}}$
6. 最後に、磁化は状態 5 から状態 6 に一貫して回転します。

このシナリオのシミュレーションは図2に示されています。 ご覧のとおり、シミュレーションされたヒステリシスは実験のものと質的に同じです。またはの振幅は、の約2倍であることに注目してください。$${\displaystyle \operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad} .}$$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle P_{\text{Voigt}}}$

• 原子ラインフィルター
• コットン・ムートン効果
• ファラデー効果

• Zhao, Zhong-Quan. 励起状態原子ラインフィルター。2006 年 3 月 26 日閲覧。