トゥランの不平等

数学において、トゥランの不等式は、パル・トゥラン^{[ 1 ]}によって発見されたルジャンドル多項式に関するいくつかの不等式であり、セゲー(1948) ^{[ 2 ]}によって最初に発表された。他の多項式への多くの一般化があり、これらはしばしばトゥランの不等式と呼ばれ、(EFベッケンバッハ、W.ザイデル、オットー・サース1951 ) ^{[ 3 ]}や他の著者によって与えられている。 

もし${\displaystyle P_{n}}$は${\displaystyle n}$ルジャンドル多項式において、トゥランの不等式は次のように述べている。

${\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x)\ {\text{for}}\ -1<x<1.}$

のために${\displaystyle H_{n}}$、${\displaystyle n}$thエルミート多項式、トゥランの不等式は

${\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{ni}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0,}$

チェビシェフ多項式の場合は

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0\ {\text{for}}\ -1<x<1.}$

• アスキー・ガスパーの不等式
• シュトゥルムの定理