テューキー深度

統計学と計算幾何学において、テューキー深度 ^[1]は、固定された点の集合における点の深さの尺度である。この概念は、発明者であるジョン・テューキーにちなんで名付けられた。d次元空間内のn個の点の集合が与えられた場合、点xのテューキー深度は、 xを含む任意の 閉じた半空間内の点の最小の割合（または数）である。 ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}=\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$

Tukey の深度は、点群に対する点の極端さを測定します。これは、ボックスプロットの 2 変量一般化であるバグプロットを定義するために使用されます。

たとえば、凸包の任意の端点には、その点だけを含む (閉じた) 半空間が常に存在するため、その Tukey 深度は分数として 1/n になります。

点xのサンプルTukeyの深さ、または点群に対するxのTukeyの深さは次のように定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}}$

${\displaystyle D(x;{\mathcal {X}}_{n})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}{\frac {1 {n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \{v^{T}(X_{i}-x)\geq 0\},}$

ここで、引数が true の場合は 1、そうでない場合は 0 となる インジケータ関数です。${\displaystyle \mathbf {1} \{\cdot \}}$

分布に対するxの人口Tukeyの深さは ${\displaystyle P_{X}}$

${\displaystyle D(x;P_{X})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}P(v^{T}(Xx)\geq 0),}$

ここで、Xは分布に従うランダム変数です。 ${\displaystyle P_{X}}$

サイズnの点集合の中心点c は、少なくともn /( d  + 1) の Tukey 深さの点に他なりません。

• 中心点（ジオメトリ）