遷移率マトリックス

確率論において、遷移率行列（ Q行列^[1] 、強度行列^[2]、または無限小生成行列^[3]とも呼ばれる）は、連続時間マルコフ連鎖が状態間を遷移する瞬間的な速度を記述する数値の配列である。

遷移率行列（^[4]と表記されることもある）において、要素（ の場合）は状態 から出発して状態 に到着する率を表す。率、および対角要素は次のように定義される。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle q_{ij}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle q_{ij}\geq 0}$${\displaystyle q_{ii}}$

${\displaystyle q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}}$、

したがって、行列の行の合計はゼロになります。

大域符号を除けば、そのような行列の大規模な例は、有向重み付きグラフのラプラシアンによって提供されます。グラフの頂点は、マルコフ連鎖の状態に対応します。

遷移率行列には以下の性質がある: ^[5]

• 固有値がゼロになる固有ベクトルが少なくとも 1 つ存在します。グラフが強連結である場合、その固有ベクトルは 1 つだけです。${\displaystyle Q}$
• 他のすべての固有値はを満たします。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle 0>\mathrm {Re} \{\lambda \}\geq 2\min _{i}q_{ii}}$
• 固有値がゼロでないすべての固有ベクトルはを満たします。${\displaystyle v}$${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$
• 遷移率行列は、P(t)が連続確率行列である場合の関係を満たします。${\displaystyle Q=P'(0)}$

M /M/1キューは、到着率λ、サービス率μの待ち行列システム内のジョブの数を数えるモデルであり、遷移率行列

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\ddots &\\&&&\ddots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

• 確率行列

• ノリス、JR (1997)。マルコフ連鎖。doi :10.1017 / CBO9780511810633.005。ISBN 9780511810633。
• Suhov, Yuri; Kelbert, Mark (2008)。マルコフ連鎖：ランダムプロセスとその応用の入門書。ケンブリッジ大学出版局。
• Syski, R. (1992)。マルコフ連鎖の通過時間。IOS Press。ISBN 90-5199-060-X。