3つの球の不平等JJapedia 編集部|更新日: 2026年8月4日 数学において、3 つの球面不等式は、与えられた球面上の調和関数のノルムを、半径が大きい球面と半径が小さい球面の 2 つの球面上のこの関数のノルム で制限します。 ら 2 {\displaystyle L^{2}} ら 2 {\displaystyle L^{2}} 3つの領域の不平等の表明 を 上の調和関数とする。すると、に対して あなた {\displaystyle u} R ん {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 0 < r 1 < r < r 2 {\displaystyle 0<r_{1} <r<r_{2}} ‖ あなた ‖ ら 2 （ S r ） ≤ ‖ あなた ‖ ら 2 （ S r 1 ） α ‖ あなた ‖ ら 2 （ S r 2 ） 1 − α {\displaystyle \|u\|_{L^{2}(S_{r})}\leq \|u\|_{L^{2}(S_{r_{1}})}^{\alpha }\|u\|_{L^{2}(S_{r_{2}})}^{1-\alpha }} ここで、は原点を中心とする 半径の球であり、 S ρ := { x ∈ R ん : | x | = ρ } {\displaystyle S_{\rho }:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \vert x\vert =\rho \}} ρ > 0 {\displaystyle \rho >0} ρ {\displaystyle \rho} α := ログ （ r 2 / r ） ログ （ r 2 / r 1 ） 。 {\displaystyle \alpha :={\frac {\log(r_{2}/r)}{\log(r_{2}/r_{1})}}.} ここでは、ノルムに次の正規化を使用します。 ら 2 {\displaystyle L^{2}} ‖ あなた ‖ ら 2 （ S ρ ） 2 := ρ 1 − ん ∫ S ん − 1 | あなた （ ρ x ^ ） | 2 d σ （ x ^ ） 。 {\displaystyle \|u\|_{L^{2}(S_{\rho })}^{2}:=\rho ^{1-n}\int _{\mathbb {S} ^{n-1}}\vert u(\rho {\hat {x}})\vert ^{2}\,d\sigma ({\hat {x}}).} 参考文献 Korevaar, J.; Meyers, JLH (1994)、「調和関数の上限ノルムの対数凸性」、Bull. London Math. Soc.、26 (4): 353–362、doi :10.1112/blms/26.4.353、MR 1302068 関連するトピック関連数学関連球面上の関連調和関数関連doi
