熱いゲーム

数学の一分野である組合せゲーム理論では、ホットゲームとは、各プレイヤーが次の動きをすることで自分の立場を向上させることができるゲームのことです。

対照的に、コールドゲームとは、各プレイヤーが次の動きをすることで自分の立場を悪化させることしかできないゲームです。コールドゲームは超実数で値を持ち、値によって順序付けることができますが、ホットゲームは他の値を持つことができます。^[1]

たとえば、プレイヤーが交互に自分の色のトークンをテーブルから取り除くゲームを考えてみましょう。青のプレイヤーは青のトークンだけを取り除き、赤のプレイヤーは赤のトークンだけを取り除き、最後にトークンを取り除いたプレイヤーが勝者となります。当然、最初にトークンを多く持っていたプレイヤーが勝利しますが、赤と青のトークンの数が同じ場合は 2 番目のプレイヤーが勝利します。自分の色のトークンを取り除くと、その動きをしたプレイヤーのテーブル上のトークンが少なくなるため、そのプレイヤーの立場はわずかに悪くなります。したがって、各トークンはゲームの「コールド」コンポーネントを表します。

ここで、数字「100」が書かれた特別な紫色のトークンを考えてみましょう。このトークンはどちらのプレイヤーでも取り除くことができ、その後、そのプレイヤーは紫色のトークンを自分の色のトークン 100 個と交換します。( Conwayの表記では、紫色のトークンはゲーム {100|−100} です。) 紫色のトークンは「ホット」なコンポーネントです。なぜなら、紫色のトークンを取り除くプレイヤーは非常に有利だからです。実際、テーブルに紫色のトークンがある場合、プレイヤーは最初にそれらを取り除き、赤または青のトークンを最後に残すことを好みます。一般に、プレイヤーはホット ゲームよりもコールド ゲームで動くことを常に好みます。ホット ゲームで動くと自分の位置が向上し、コールド ゲームで動くと自分の位置が損なわれるためです。

ゲームの温度は、2 人のプレイヤーにとっての価値の尺度です。紫色の「100」トークンは、各プレイヤーにとって 100 回の移動であるため、温度は 100 です。一般的に、プレイヤーは利用可能な最も熱いコンポーネントで移動することを好みます。たとえば、紫色の「100」トークンと、それを取ったプレイヤーが自分の色のトークンを 1,000 個テーブルに捨てることができる紫色の「1,000」トークンがあるとします。各プレイヤーは、温度が 1,000 の「1,000」トークンを、温度が 100 の「100」トークンよりも先に取り除くことを好みます。

もう少し複雑な例として、{10|2} + {5|−5} というゲームを考えてみましょう。{5|−5} は、どちらのプレイヤーも自分の色のトークン 5 個と交換できるトークンであり、{10|2} は、青のプレイヤーが青のトークン 10 個と交換するか、赤のプレイヤーが青のトークン2 個と交換できるトークンです。

{10|2} 要素の温度は ½(10 − 2) = 4 ですが、{5|−5} 要素の温度は 5 です。これは、各プレーヤーが {5|−5} 要素でプレイすることを好むことを示しています。実際、赤プレーヤーにとって最善の最初の動きは、{5|−5} を −5 に置き換え、次に青プレーヤーが {10|2} を 10 に置き換えて合計 5 にすることです。赤プレーヤーが代わりにより冷たい {10|2} 要素に移動していた場合、最終的な位置は 2 + 5 = 7 になり、赤にとってより悪いことになります。同様に、青プレーヤーにとって最善の最初の動きは、短期的には {10|2} 要素に移動するとより多くの青トークンが生成されますが、{5|-5} から 5 へのより熱い要素です。

Snortというゲームでは、赤と青のプレイヤーが交代でグラフの頂点に色を塗ります。ただし、辺でつながっている 2 つの頂点は異なる色にしてはいけないという制約があります。通常どおり、最後に正当な動きをしたプレイヤーが勝者となります。プレイヤーの動きによって、隣接する頂点が事実上自分専用に確保され、自分の位置が向上するため、Snort の位置は通常ホットです。対照的に、密接に関連したゲームColでは、隣接する頂点が同じ色にならないため、位置は通常コールドです。

ホットゲームの理論は、囲碁の終盤戦略の分析に応用されている。^{[2] [3]}

• ドミニアリング、ホットポジションが生まれるもう一つのゲーム
• 冷却と加熱（組合せゲーム理論）、ホットゲームをコールドゲームと同じタイプの分析に適合させるための操作

• Berlekamp, Elwyn P. ; Conway, John H. ; Guy, Richard K. (1982). Winning Ways . 第 1 巻 (第 1 版).ニューヨーク: Academic Press . ISBN 0-12-091150-7。
• コンウェイ、ジョン H. (2001)。『数とゲームについて』（第 2 版）。AKピーターズ社、 pp. 101–108。ISBN 1-56881-127-6。