テルゲンの定理

テルゲンの定理は、ネットワーク理論における最も強力な定理の1つです。ネットワーク理論におけるエネルギー分布定理と極値原理のほとんどは、この定理から導き出すことができます。この定理は、1952年にバーナード・テルゲンによって発表されました。^[1]基本的に、テルゲンの定理は、電気回路理論におけるキルヒホッフの法則 を満たす大きさの間の単純な関係を与えます。

テルゲン定理は、多数のネットワーク システムに適用できます。システムの基本仮定は、量の流れの保存(キルヒホッフの電流法則、KCL) と、ネットワーク ノードにおける電位の一意性 (キルヒホッフの電圧法則、KVL) です。テルゲン定理は、電気回路、生物および代謝ネットワーク、パイプライン輸送ネットワーク、化学プロセスネットワークなどの複雑なネットワーク システムを分析するための便利なツールを提供します。

分岐とノードを持つ任意の集中ネットワークを考えてみましょう。電気ネットワークでは、分岐は2端子コンポーネントであり、ノードは相互接続点です。各分岐に、分岐電位差と分岐電流を任意に割り当て、任意に選択した関連基準方向に対して測定するとします。分岐電位差がKVLによって課されるすべての制約を満たし、分岐電流がKCLによって課されるすべての制約を満たす場合、 ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$${\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}}$${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

テルゲンの定理は極めて一般的で、線形または非線形、受動的または能動的、時間変動または時間不変の任意の要素を含む任意の集中ネットワークに対して有効です。 および がそれぞれ電位差の集合および分岐電流の集合に対する線形演算である場合、この一般性が拡張されます。これは、線形演算が KVL および KCL に影響を与えないためです。たとえば、線形演算は平均またはラプラス変換です。より一般的には、KVL を保存する演算子はキルヒホッフ電圧演算子、KCL を保存する演算子はキルヒホッフ電流演算子、両方を保存する演算子は単にキルヒホッフ演算子と呼ばれます。これらの演算子は、テルゲンの定理が成立するために必ずしも線形である必要はありません。^[2]${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle F_{k}}$

KVL と KCL はどの時点においても真であるため、電流の集合は電位差の集合とは異なる時間にサンプリングされることもある。別の拡張として、電位差の集合が1 つのネットワークから来ており、電流の集合が全く異なるネットワークから来ている場合、2 つのネットワークが同じトポロジ (同じ接続行列) を持つ限り、Tellegen の定理は真である。Tellegen の定理のこの拡張は、2 ポート ネットワークに関連する多くの定理につながる。^[3]${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle F_{k}}$

簡潔な証明を提供するために、いくつかの必要なネットワーク定義を導入する必要があります。

接続行列: この行列は、行列要素が ${\displaystyle n\times b}$${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$${\displaystyle a_{ij}}$

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{現在のブランチ }}j{\text{ がノード }}i\\-1 を離れる場合、&{\text{現在のブランチ }}j{\text{ がノード }}i\\0 に入る場合、&{\text{それ以外の場合}}\end{cases}}}$

環境を表すために参照ノードまたはデータ ノードが導入され、すべての動的ノードとターミナルに接続されます。参照ノードの要素を含む行が削除されたマトリックスは、縮小接続マトリックスと呼ばれます。 ${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle (n-1)\times b}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle a_{0j}}$${\displaystyle P_{0}}$

ベクトル行列形式の 保存則(KCL) :

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

ベクトル行列形式の ポテンシャル（KVL）の一意性条件：

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

ここで、 は基準ノードに対するノードの絶対電位です。 ${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle P_{0}}$

KVL の使用:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

KCLによるものです。つまり: ${\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

ネットワーク類似体は、さまざまな物理システム用に構築されており、それらの動的動作を分析するのに非常に有用であることが証明されています。ネットワーク理論とテレゲンの定理の古典的な応用分野は、電気回路理論です。主に、信号処理アプリケーションでフィルターを設計するために使用されます。

テルゲンの定理は、化学プロセスや生物学的プロセスの分野で最近応用されています。電気回路の仮定 (キルヒホッフの法則) は、不可逆熱力学の法則に従う動的システムにも一般化されています。反応ネットワーク (反応メカニズム、代謝ネットワーク) のトポロジーと構造は、テルゲンの定理を使用して分析できます。

テルゲンの定理のもう 1 つの応用は、化学工場や石油生産システムなどの複雑なプロセス システムの安定性と最適性を判断することです。テルゲンの定理は、プロセス ノード、ターミナル、フロー接続を使用し、大量の生成または破壊のためのシンクとソースを許可するプロセス システムに対して定式化できます。

プロセスシステムに関するテレゲンの定理の定式化:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

ここで、は生成項、は端末接続、およびは示量変数の動的記憶項です。 ${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$

インライン参照

一般的な参考文献

• Telegen の定理の回路例
• GF Oster と CA Desoer、「テルゲンの定理と熱力学的不等式」
• ネットワーク熱力学