伸縮マルコフ連鎖

確率論において、テレスコープマルコフ連鎖（TMC）は、マルコフ特性を満たし、カスケード依存性を持つ遷移行列のネットワークを通じて階層的な形式を許容するベクトル値の確率過程である。 ^[1]

任意の空間の集合を考える。積空間で定義される 階層的過程は${\displaystyle N>1}$${\displaystyle \{{\mathcal {S}}^{\ell }\}_{\ell =1}^{N}}$${\displaystyle \theta_{k}}$

${\displaystyle \theta _{k}=(\theta _{k}^{1},\ldots ,\theta _{k}^{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}}$

遷移確率カーネルの集合が次の式を 満たす場合、TMCであると言われる。${\displaystyle \{\Lambda ^{n}\}_{n=1}^{N}}$

1. ${\displaystyle \theta _{k}^{1}}$遷移確率行列を持つマルコフ連鎖である${\displaystyle \Lambda^{1}}$

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{k}^{1}=s\mid \theta _{k-1}^{1}=r)=\Lambda ^{1}(s\mid r)}$

2. 階層のあらゆるレベルに連鎖的な依存関係があり、

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{k}^{n}=s\mid \theta _{k-1}^{n}=r,\theta _{k}^{n-1}=t)=\Lambda ^{n}(s\mid r,t)}$     全ての${\displaystyle n\geq 2.}$

3. ${\displaystyle \theta_{k}}$は、'sで記述できる遷移カーネルを持つマルコフ特性を満たします。 ${\displaystyle \Lambda}$

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{k+1}={\vec {s}}\mid \theta _{k}={\vec {r}})=\Lambda ^{1}(s_{1}\mid r_{1})\prod _{\ell =2}^{N}\Lambda ^{\ell }(s_{\ell }\mid r_{\ell },s_{\ell -1})}$

どこでそして${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},\ldots ,s_{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}}$${\displaystyle {\vec {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}.}$