タナリーの定理

数学的解析において、タナリーの定理は、極限和演算と無限和演算の交換に十分な条件を与える。この定理はジュール・タナリーにちなんで名付けられた。^[1]

とし、 と仮定する。 かつ ならば、 となる 。^{[2] [3]}${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(n)}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)=b_{k}}$${\displaystyle |a_{k}(n)|\leq M_{k}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }M_{k}<\infty }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}$

タナリーの定理は、ルベーグの優勢収束定理を数列空間 に適用することで直接導かれます。 ${\displaystyle \ell^{1}}$

基本的な証明も与えることができる。^[3]

タネリーの定理は、指数関数の 二項極限と無限級数の特徴付けが同等であることを証明するために使用できます。 ${\displaystyle e^{x}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}.}$

を定義します。 と が成り立つので、タナリーの定理を適用して ${\displaystyle a_{k}(n)={n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}}$${\displaystyle |a_{k}(n)|\leq {\frac {|x|^{k}}{k!}}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x|}<\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}} =\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=\和_{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}.}$