スポージの近似

数学において、スポージ近似はガンマ関数の近似値を計算する公式である。この公式は1994年の論文で定義したジョン・L・スポージにちなんで名付けられた。^{[1]この公式は}スターリング近似の修正版であり、次の形式をとる。

${\displaystyle \Gamma (z+1)=(z+a)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-za}\left(c_{0}+\sum _{k= 1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\バレプシロン _{a}(z)\right)}$

ここでaは任意の正の整数であり、係数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\sqrt {2\pi }}\\c_{k}&={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}(-k+a)^{k-{\frac {1}{2}}}e^{-k+a}\qquad k\in \{1,2,\dots ,a-1\}.\end{aligned}}}$

スポージは、Re( z )>0かつa >2の場合、 εa ( z )を  捨てる際の相対誤差は_、

${\displaystyle a^{-{\frac {1}{2}}}(2\pi )^{-a-{\frac {1}{2}}}.}$

この式はランチョス近似に似ていますが、いくつか異なる特徴があります。^[2]ランチョス近似の式は収束が速いのに対し、スポージの係数は計算がはるかに簡単で、誤差を任意に低く設定できます。したがって、この式はガンマ関数の任意精度の評価に適しています。ただし、係数c _kのサイズが大きく、符号が交互に変わるため、合計を計算するときは十分な精度を使用するように特別な注意を払う必要があります。たとえば、a  = 49 の場合、約束された 40 桁の精度を得るためには、約 65 桁の精度を使用して合計を計算する必要があります。

• スターリング近似
• ランチョス近似