スピッツァーの公式

確率論において、スピッツァーの公式またはスピッツァーの恒等式は、ランダム変数の集合の部分和と最大部分和の結合分布を与える。この結果は、1956年にフランク・スピッツァーによって初めて発表された。 ^[1]この公式は、「独立したランダム変数の和の理論における足がかり」と見なされている。^[2]

を独立かつ同一分布に従う確率変数とし、部分和 を定義する。 を定義する。すると^[3]${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}$${\displaystyle R_{n}={\text{max}}(0,S_{1},S_{2},...S_{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\phi _{n}(\alpha ,\beta )t^{n}=\exp \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\left(u_{n}(\alpha )+v_{n}(\beta )-1\right)\right]}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(\alpha ,\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i(\alpha R_{n}+\beta (R_{n}-S_{n})\right])\\u_{n}(\alpha )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\alpha S_{n}^{+}\right])\\v_{n}(\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\beta S_{n}^{-}\right])\end{aligned}}}$

S ^±は(| S | ±  S )/2 を表します。

^{スピッツァー[1]}とウェンデル^[3]による2つの証明が知られている。