セルフレッジ・コンウェイ法

セルフレッジ・コンウェイ法は、 3人のパートナーに対して羨望のないケーキカットを実現する離散的な手順です。 ^{[ 1 ] : 13-14} これは、ジョン・セル​​フレッジとジョン・ホートン・コンウェイにちなんで名付けられました。セルフレッジは1960年にこれを発見し、リチャード・ガイに伝え、ガイは多くの人に伝えましたが、セルフレッジは発表しませんでした。ジョン・コンウェイは後に独自にこれを発見しましたが、彼もまた発表しませんでした。^{[ 2 ]}この手順は、3人のパートナーに対して考案された最初の羨望のない離散的な手順であり、 n人のパートナーに対するより高度な手順への道を開きました（羨望のないケーキカットを参照）。

分配手順は、各受取人が（自身の基準で）他の受取人が自分よりも多くの分配を受けていないと確信している場合に、羨望のない手順である。分配手順における分割回数の最大は5回である。分割された部分は必ずしも連続しているとは限らない。

プレイヤーがP1、P2、P3の 3 名いるとします。手順で決定の基準が示される場合、その基準はプレイヤーにとって最適な選択肢を示すことを意味します。

1. P1はケーキを、同じ大きさだと考えられる3つのピースに分割する。
2. P2によると、 Aを最大のピースとしましょう。
3. P2はAの一部を切り取り、2番目に大きいものと同じ大きさにします。これでAは、切り取られた部分A1 と切り取られた部分A2に分けられます。切り取られた部分A2は、今は脇に置いておきます。
   • P2が2つの最大の部分が等しい（トリミングの必要がない）と考える場合、各プレイヤーはP3、P2、最後にP1の順に部分を選択します。
4. P3はA1と他の2つの駒の中から1つを選ぶ。
5. P2は駒を選ぶが、P3がA1を選ばなかった場合は、P2がA1を選ばなければならないという制約がある。
6. P1は最後のピースを選び、残りの端切れA2を分け合うことにする。

残りは切り落としたピースA2を分けます。切り落としたピースA1はP2またはP3のどちらかが選びました。選んだプレイヤーをPA、もう一方のプレイヤーをPBとしましょう。

1. PBはA2用紙を3等分に切ります。
2. PAはA2サイズの紙を選びます。それをA21と名付けます。
3. P1はA2の断片を選びます。それをA22と名付けます。
4. PBはA2の最後のピースを選びます。それをA23と名付けます。

この手順が羨望フリーである理由を見ていきましょう。各プレイヤーが、他のどのプレイヤーも自分より大きな分け前を受け取っていないと信じていることを示す必要があります。一般性を失うことなく、次のように記述できます（上の図を参照）。

• PAが受信しました：A1 + A21。
• PBが受け取ったもの：B + A23。
• P1はC + A22を受け取った。

以下の分析において「最大」とは「その選手による最大」を意味します。

• PAはA1 + A21を受け取りました。彼らにとって、A1  ≥ BかつA1 ≥ Cです。そして彼らは、自分たちの選択であるA21をA2の中で最大のピースとみなします。したがって、他のプレイヤーはより大きな分け前を受け取っていません。A1 + A21 ≥ B + A23、C + A22。     
• PBはB + A23を受け取りました。PBはBを選んだので、 B  ≥ A1かつB ≥ Cとなります。また、 A2を3つに切り分けたのもPBなので、PBにとってはそれらのピースはすべて等しいです。   
• P1はC + A22を受け取りました。彼らにとって、C  ≥ A1およびC = Bです。    
  • P1は、 PBがより大きな分け前を受け取ったとは考えていない。つまり、C + A22  ≥ B + A23である。P1はPBよりも先にA2の分け前を選んだため、P1の見解ではA22 ≥ A23となる。   
  • P1は、 PAがより多くの分け前を受け取ったとは考えていない。つまり、C + A22  ≥ A1 + A21である。P1にとって、CはAと等しい。なぜなら、 P1は最初のラウンドでケーキを切ったからである。また、A = A1 + A2 = A1 + ( A21 + A22 + A23 ) なので、C ≥ A1 + A21となる。（たとえPAがA2全体を取り、P1がA22を受け取らなかったとしても、P1はPAを羨ましく思わないだろう。）               

なお、ケーキの一部について羨望のない分割（つまり、自由な処分を許可する）だけを望む場合は、セルフレッジ・コンウェイ手順の最初の部分だけを使用すればよい。

• P1はケーキを3等分する。
• P2は、最大で1つのピースをトリミングして、2つの最大のピースが等しくなるようにします。
• P3が駒を取り、次にP2、次にP1が駒を取る。

これにより、嫉妬が生じることはなくなる。

この手順は、次の方法で4人のパートナーに一般化できます。^{[ 3 ]}

• P1はケーキを5等分する。
• P2は、最大2つのピースを切り出し、3つの最大のピースが等しくなるようにします。
• P3は、最大で1つのピースをトリミングし、2つの最大のピースが等しくなるようにします。
• P4が駒を取り、次にP3、次にP2、次にP1を取る。

これにより、嫉妬が生じることはなくなる。

帰納法により、この手順はn 人のパートナーに一般化でき、最初のパートナーがケーキを分割して$2^n-2+1$均等に分け、他のパートナーがそれに続いて切り分けます。こうしてできた分け方は、誰の羨望も入り混じらないものになります。

残りの部分に同じ手順を再度適用することができます。これを無限回繰り返すことで、ケーキ全体を羨望のない方法で分割することができます。^{[ 4 ]} この無限手順を改良すると、有限の羨望のない分割手順であるブラムス・テイラー手順が得られます。