相互性（ネットワーク科学）

相互性を定義する伝統的な方法${\displaystyle r}$両方向を指すリンク数の比率を使用しています${\displaystyle L^{<->}}$リンクの総数 L ^{[ 6 ]}${\displaystyle r={\frac {L^{<->}}{L}}}$

この定義によれば、${\displaystyle r=1}$は純粋な双方向ネットワーク用ですが、 ${\displaystyle r=0}$完全に一方向性のネットワークの場合。実際のネットワークでは、0と1の間の値をとります。

しかし、この相互性の定義にはいくつかの欠点があります。頂点数と辺数が同じ純粋なランダムネットワークと比較した場合の相互性の相対的な違いを判断できません。相互性から得られる有用な情報は、値そのものではなく、相互リンクが偶然に期待されるよりも頻繁に発生するか、それともまれにしか発生しないかです。さらに、自己連結ループ（同じ頂点から始まり同じ頂点で終わるリンク）を含むネットワークでは、計算時に自己連結ループを除外する必要があります。${\displaystyle L}$。

上記の定義の欠点を克服するために、ガルラシェリとロフレドは相互性を、有向グラフの隣接行列のエントリ間の相関係数として定義した（${\displaystyle a_{ij}=1}$リンク元が${\displaystyle i}$に${\displaystyle j}$存在し、${\displaystyle a_{ij}=0}$そうでない場合):

${\displaystyle \rho \equiv {\frac {\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})(a_{ji}-{\bar {a}})}{\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})^{2}}}}$、

平均値${\displaystyle {\bar {a}}\equiv {\frac {\sum _{i\neq j}a_{ij}}{N(N-1)}}={\frac {L}{N(N-1)}}}$。

${\displaystyle {\bar {a}}}$観測された有向リンクと可能な有向リンクの比率（リンク密度）を測定し、自己リンクループは現在除外されています${\displaystyle L}$以来${\displaystyle i}$等しくない${\displaystyle j}$。

その定義は、以下の簡単な形式で記述できる。

${\displaystyle \rho ={\frac {r-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}$

相互性の新しい定義は、相互性(${\displaystyle \rho >0}$）と反逆（${\displaystyle \rho <0}$相互リンクがランダムな場合よりも頻繁に発生する場合と発生しない場合があるネットワーク。

すべてのリンクが相互のペアで発生する場合、${\displaystyle \rho =1}$; もし${\displaystyle r=0}$、${\displaystyle \rho =\rho _{min}}$。 ${\displaystyle \rho _{min}\equiv {\frac {-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}$

これは、${\displaystyle \rho }$なぜなら、完全な反相互性は密度が高いネットワークでは統計的に有意である一方、疎なネットワークではそれほど顕著な効果ではないとみなされるべきであるという考え方を取り入れているからである。