ジャキウ・タイテルボイム重力

境界∂Mを持つ多様体Mの場合、適切に定式化された変分問題を得るためには、作用に境界項を含める必要がある。 ^{[ 6 ]} JT重力に対する適切な境界項は、計量に対するギボンズ・ホーキング・ヨーク境界項（GHY）と、それに対応するダイラトン場の項である。

${\displaystyle S_{boundary}={\frac {1}{8\pi G_{N}}}\int _{\partial M}dt{\sqrt {h}}(\Phi _{b}K-\Phi _{b})}$

ここで、hは境界上の誘導計量、Kは外曲率、Φ _{b は}境界におけるダイラトンの値である。^{[ 7 ]} 2 番目の項は、作用を正規化する対項である。 ^{[ 8 ]}

境界条件付きジャキウ・タイテルボイム重力の完全な作用は次のようになる。

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G_{N}}}\left[\int _{M}d^{2}x{\sqrt {-g}}\Phi (R+2)+2\int _{\partial M}dt{\sqrt {h}}\Phi _{b}(K-1)\right]}$

シュワルツ境界理論の導出には、いくつかの段階がある。

1. バルク運動方程式の解法：ダイラトンΦに関するJT作用の変分は、R = -2という制約を課します。これは、バルク形状が反ド・ジッター空間（AdS ₂）のスライスであることを意味します。計量の運動方程式は、それをダイラトンの応力エネルギーテンソルに結び付けます。^{[ 10 ]}
2. ゲージの固定と境界条件：便利なゲージの選択は、メートル法を次の形式に固定することです。${\displaystyle ds^{2}={\frac {dz^{2}+dt^{2}}{z^{2}}}}$この空間の境界は、ある小さなεに対してz = εの位置にあります。境界曲線は、境界上の物理時間uである時間座標t (u)によってパラメータ化されます。
3. オンシェル作用の評価：ダイラトンの運動方程式により、作用のバルク項はオンシェルではゼロになります。したがって、全体の作用は、運動方程式の解に基づいて評価された境界項によって与えられます。
4. シュワルツ微分：境界条件とゲージ固定を用いて境界項を慎重に評価すると、作用は以下のように簡略化されます。$${\displaystyle S_{eff}=-C\int du\,\left\{\tan \left({\frac {\pi t(u)}{\beta }}\right),u\right\}}$$ここで、Cは Φ _b / G _Nに比例する定数、β は境界時間座標の周期性、{ f , u } は関数fのuに関するシュワルツ微分を表す。${\displaystyle \{f,u\}={\frac {f'''(u)}{f'(u)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(u)}{f'(u)}}\right)^{2}}$

境界再パラメータ化t ( u ) に対するこの有効な作用は、有名なシュワルツ作用である。 ^{[ 11 ]}この理論は、境界上での共形対称性の自発的かつ明示的な破れを記述しており、これは SYK モデルの低エネルギー極限でも見られる特徴である。^{[ 2 ]}