プラントル・グラウエルト特異点

プラントル・グラウエルト特異点は流れの物理学における理論的構成であり、遷音速流の蒸気円錐を説明するために誤って使用されることが多い。これは、航空機が音速に近づくと無限の圧力がかかるとプラントル・グラウエルト変換によって予測されるものである。この速度で変換を適用するのは無効であるため、予測された特異点は現れない。この誤った関連付けは、20世紀初頭の音速の壁の貫通不可能性に関する誤解に関連している。

プラントル-グラウエルト変換は線形性を前提としています (つまり、小さな変化は、その大きさに比例した小さな効果をもたらします)。この仮定はマッハ 1 に近づくにつれて不正確になり、流れが超音速に達する場所ではまったく無効です。これは、音速衝撃波が流れの瞬間的な (したがって明らかに非線形な) 変化であるためです。実際、プラントル-グラウエルト変換の 1 つの仮定は、流れ全体にわたってマッハ数がほぼ一定であるというものです。変換の傾斜が増加するということは、非常に小さな変化がマッハ数の増加で非常に大きな効果をもたらすことを示し、したがって仮定に違反し、音速で完全に破綻します。

これは、音速（M = 1 ）付近での変換の特徴である特異点が有効領域内にないことを意味します。空気力は、いわゆるプラントル-グラウエルト特異点において無限大に近づくように計算されます。実際には、空気力学的および熱力学的摂動は音速付近で強く増幅されますが、有限のままであり、特異点は発生しません。プラントル-グラウエルト変換は、圧縮性で非粘性のポテンシャルフローの線形近似です。流れが音速に近づくにつれて、流れの中で非線形現象が支配的になりますが、この変換では単純化のためにこれを完全に無視します。

プラントル・グラウエルト変換は、圧縮性非粘性流れに関連するポテンシャル方程式を線形化することによって得られる。2次元流れの場合、そのような流れにおける線形化された圧力は、非圧縮性流れ理論から得られる圧力に補正係数を乗じたものに等しい。この補正係数は以下のように与えられる：^[1] ここで $${\displaystyle c_{p}={\frac {c_{p0}}{\sqrt {|1-{M_{\infty }}^{2}|}}}}$$

• c _{p は}圧縮圧力係数である。
• c _{p 0は}非圧縮 圧力係数である
• M _{∞ は}自由流マッハ数です。

この式は「プラントルの法則」として知られており、低遷音速マッハ数 ( M < 0.7) まで有効です。ただし、次の制限に注意してください。$${\displaystyle \lim _{M_{\infty }\to 1}c_{p}=\infty }$$

この明らかに非物理的な結果（無限の圧力）は、プラントル・グラウエルト特異点として知られています。

高速飛行機の周囲に雲が見えることがあるのは、湿った空気が低圧地域に入り、局所的な密度と温度が十分に低下して飛行機の周囲で水が過飽和状態になり、空気中で凝縮して雲が形成されるためです。気圧が再び周囲レベルまで上昇すると、雲はすぐに消えます。

遷音速の物体の場合、局所的な圧力上昇は衝撃波の位置で発生します。自由流での凝縮には超音速流は必要ありません。湿度が十分に高ければ、翼の上や翼端の中心部、さらには渦自体の内部や周囲に、亜音速流で凝縮雲が発生する可能性があります。これは、湿度の高い日に空港に接近または離陸する航空機でよく見られます。^[2]

• プラントル-グラウエルト変換
• 圧縮性流れ
• ベーパーコーン
• ソニックブーム