多孔質セット

数学において、多孔質集合は距離空間の研究における概念です。希薄集合や測度零集合の概念と同様に、多孔質集合は「まばら」または「かさがない」と見なすことができます。ただし、以下に示すように、多孔質集合は希薄集合や測度零集合のいずれとも同等ではありません。

( X ,  d ) を完備距離空間とし、E をXの部分集合とする。B ( x ,  r )は、中心x  ∈  X、半径r  > 0である ( X ,  d )内の閉球を表す。定数 0 < α  < 1 およびr ₀ > 0が存在し  、任意の 0 <  r  ≤  r ₀および任意のx  ∈  Xに対して、次の条件を満たす点y  ∈  Xが存在するとき、 E は多孔性があるという 。

${\displaystyle B(y,\alpha r)\subseteq B(x,r)\setminus E.}$

Xのサブセットがσ多孔性であるとは、 Xの多孔性サブセットの可算な和 集合である場合に言います。

• いかなる多孔質集合も、稠密な集合ではありません。したがって、すべてのσ多孔質集合は、希薄集合（または第1 カテゴリ）です。
• X が有限次元ユークリッド空間 R ⁿである場合、多孔質部分集合はルベーグ測度が 0の集合です。
• しかし、 R ⁿの非σ多孔性部分集合P は存在し、これは第 1 カテゴリに属し、ルベーグ測度は 0 です。これはZajíček の定理として知られています。
• 多孔性と密度がどこにも存在しないことの関係は次のように説明できる。Eがどこにも密度が存在しないとすると、x  ∈  Xかつr  > 0 のとき、y  ∈  Xかつs  > 0 の点が存在し、

${\displaystyle B(y,s)\subseteq B(x,r)\setminus E.}$

ただし、Eも多孔質である場合は、 s  =  αr（少なくともr が十分に小さい場合）を取ることができます。ここで、 0 <  α < 1 はE のみに依存する定数です。

• ライヒ、シメオン; ザスラフスキー、アレクサンダー J. (2002)。「連続降下法の 2 つの収束結果」。微分方程式の電子ジャーナル。2002 (24): 1– 11。ISSN 1072-6691  。
• ザジチェク、L. (1987–1988)。 「気孔率とσ -気孔率」。本物のアナル。交換。13 (2): 314–350。土井:10.2307/44151885。ISSN  0147-1937。JSTOR  44151885。 MR943561​