位相比較モノパルス

位相比較モノパルスは、レーダーや方向探知などの無線周波数（RF）アプリケーションで使用される技術であり、2つ（またはそれ以上）の離れたアンテナ^[1]または通常はアレイアンテナのずれた位相中心で測定された信号の位相差から信号の到着方向を正確に推定します。位相比較モノパルスは、前者が共通のビーム指向方向を持つずれた位相中心を使用するのに対し、後者は共通の位相中心とずれたビーム指向方向を使用するという点で振幅比較モノパルスとは異なります。 ^[2]

位相比較モノパルスでは、通常、アレイがサブアレイに分割され、次に「合計」チャネルと「差」または「del」チャネルが形成されます。線形アレイの場合、これらのサブアレイはそれぞれ要素の半分で、中央で分割されます。平面アレイの場合、これらのサブアレイはアレイの 4 つの象限で、それぞれアレイの要素の 1/4 になります。線形アレイでは、各サブアレイの出力が合計されて「合計」チャネルが形成され、同じ出力が減算されて「del」チャネルが形成されます。モノパルス比は、del チャネルの虚数部を合計チャネルの実数部で割ることによって形成されます。この比は、ビームの中心と比較した実際のターゲット角度を高い精度で示すエラー信号を生成します。平面アレイの場合、4つの象限の出力の合計として1つの合計チャネルが形成されますが、2つの差分チャネルが形成されます。1つは仰角次元用、もう1つは直交方位角次元用です。2つのモノパルス比は線形アレイの場合と同様に形成され、それぞれがビームの中心からの1次元の偏差角度を示します。^[3]

位相比較モノパルスについては、よくある誤解がいくつかあります。まず、形成されるビームは 1 つだけです。モノパルス処理は、アレイ マニホールドとビーム形成ネットワークで受信された信号のみを使用して行われます。わかりやすくするために 1 次元のみで言えば、線形アレイの場合など、信号はアレイによって受信され、位相中心がずれた 2 つのサブアレイのそれぞれに加算されます。合計チャネルは、これらの 2 つのサブアレイ出力を加算するだけで形成され、結果は、アレイ全体が最初に 1 つのステップで加算された場合とまったく同じになります。del チャネルは、これらの同じサブアレイ出力を減算するだけで形成されます。次に、位相比較モノパルスは、技術的には実際には位相比較を行うのではなく、del チャネルを合計チャネルで割って、角度情報がエンコードされる比率を算出します。^[4] 次の数学的導出により、これがなぜそうなるのかが明らかになります。

N個の要素を持つ均一線形アレイ（ULA）のビームパターン（アレイ係数）は次のように定義できます。^[5]

${\displaystyle B_{\theta }\left(\theta \right)={\vec {w}}^{H}{\vec {v}}_{\theta }\left(\theta \right)=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}\left[{\vec {v}}_{\theta }\left(\theta \right)\right]_{n}=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right){\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta }}$ここで、はアレイ多様体ベクトル、 は各アンテナ素子に適用される振幅と位相の調整を表す複素重みのベクトルです。多様体ベクトル は、アレイの空間特性をすべて完全にカプセル化します。 はアレイの素子間の距離、 はエンドファイアから定義される入射平面波の到来角です。つまり、はアレイのブロードサイドからの信号です。${\displaystyle {\vec {v}}_{\theta }}$${\displaystyle {\vec {w}}}$${\displaystyle {\vec {v}}_{\theta }}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =90^{\circ}}$

変数置換を-spaceに実行するのが一般的です。ここで、 であるため、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta }$

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$

そして、これは単に隣接する要素間の位相シフトであることが簡単にわかります。この用語は、アレイの物理的な中心に対する絶対位相を参照するだけです。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\frac {N-1}{2}}}$

代わりに、最初に配列の各半分を合計し、その結果を合計した場合も同じ結果になることに注意してください。

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }+\sum _{n={\frac {N}{2}}}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$

重みベクトルは、位相調整を使用してビームをステアリング方向 にステアリングするステアリングベクトルと、サイドローブ を減らすためによく適用される振幅テーパの組み合わせです。したがって、、および ${\displaystyle \psi_{S}}$${\displaystyle \left[{\vec {w}}\right]_{n}=a_{n}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{S}}}$

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi _{\Delta }\right)=e^{j\left({\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}e^{-jn\psi _{\Delta }}}$、 どこ。${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi _{S}-\psi }$

これで、ビーム パターンが- 空間で、アレイ振幅テーパ ベクトルの離散時間フーリエ変換(DTFT) と線形位相項の積の空間的等価物であることがはっきりとわかります。 - 空間の利点は、ビームがどこに向けられてもビーム形状が同一であり、実際のターゲット位相からの所望のターゲット位相の偏差の関数のみであることです。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi}$

ここで、テーパーのない正規化されたアレイを想定してみましょう。ビームパターンは、よく知られているエイリアス sinc (asinc) 関数として簡単に示せます。 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}}$

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi _{\Delta }\right)={\frac {1}{N}}{\frac {sin\left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{sin{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}}}}$

このパターンは、モノパルスの目的では、すべての要素を合計して得られるため、「合計」パターンとしても知られています。今後は、下付き文字を省略し、ステアリングされたターゲット位相と実際のターゲット位相の偏差を表すという理解のもとで のみ使用します。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \psi }$

ここで、アレイをサブアレイと呼ばれる 2 つの等しい半分に分割して、モノパルスの「差」または「del」パターンを展開してみましょう。各サブアレイのパターンを最初に個別に決定し、これら 2 つの結果を加算することで、合計パターンを簡単に導き出すことができます。モノパルスの実践では、これが実際に行われます。読者は、 が共役対称であることを示す必要があります。したがって、このベクトルを「反転」する交換行列 を使って、最初の半分だけで書き直すことができます。 ${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)}$${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)}$${\displaystyle {\textbf {J}}}$

${\displaystyle {\textbf {J}}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\\\vdots &\ddots &1&0\\0&\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}&\ddots &\vdots \\1&0&\cdots &0\end{bmatrix}}}$

注意してください。Nが偶数であると仮定すると（奇数のNを使用してこれを簡単に展開することができます）、^[6]${\displaystyle {\textbf {J}}\cdot {\textbf {J}}={\textbf {I}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}}$

重み行列も共役対称であると仮定すると（良い仮定）、

${\displaystyle {\vec {w}}={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {w}}_{1}^{*}\end{bmatrix}}}$

そして、ビームパターンの合計は次のように書き直すことができる。^[7]

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\Sigma _{\psi }\left(\psi \right)={\vec {w}}^{H}{\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}^{H}&\vdots &{\vec {w}}_{1}^{T}{\textbf {J}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}={\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)+{\vec {w}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)=2Re\left[{\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\right]}$

差分または「del」パターンは、配列の後半の重みの符号を反転するだけで、合計パターンから簡単に推測できます。

${\displaystyle \Delta _{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}^{H}&\vdots &-{\vec {w}}_{1}^{T}{\textbf {J}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}={\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)-{\vec {w}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)=2Im\left[{\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\right]}$

再び と仮定すると、 del パターンは次のように簡約されることがわかります。 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}}$

${\displaystyle \Delta _{\psi }\left(\psi \right)={\frac {2}{N}}Im\left[\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }\right]={\frac {2}{N}}{\frac {sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}$

モノパルス比は次のように形成されます。

${\displaystyle {\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}={\frac {{\frac {2}{N}}{\frac {sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}{{\frac {1}{N}}{\frac {sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}}={\frac {2sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}}={\frac {1-cos\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}{sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}}=tan\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}$

システムの 3dB ビーム幅内では、モノパルス比はほぼ線形であることがわかります。実際、多くのシステムでは線形近似で十分です。また、モノパルス比はヌル ツー ヌル ビーム幅内では連続していますが、ビーム ヌルで漸近線が発生することにも注意してください。したがって、モノパルス比は、システムのメイン ローブ内のターゲットの偏差角度を測定する場合にのみ正確です。ただし、システムのサイドラインで検出されたターゲットは、軽減されなければ、いずれにしても誤った結果を生成します。

モノパルス処理を実行する前に、システムはまずターゲットを検出する必要があります。これは通常どおり合計チャネルを使用して行われます。非モノパルス システムが行う一般的な測定 (距離、ドップラー、角度など) はすべて合計チャネルを使用して行われます。ただし、角度測定はターゲットが合計ビームのビーム幅内のどこにでも存在する可能性があるという点で制限されており、したがってシステムはビームの指向方向が実際のターゲット角度と同じであると想定することしかできません。もちろん、現実には実際のターゲット角度とビームのステアリング角度は異なります。

したがって、モノパルス プロセッサは、まず合計チャネルでターゲット信号を検出して測定することによって機能します。次に、検出されたターゲットに必要な場合にのみ、「del」チャネルで同じ信号を測定し、この結果の虚数部を「合計」チャネルの実数部で割り、次の関係を使用してこの比率を偏差角度に変換します。

${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi _{S}-\psi ={\frac {4}{N}}arctan\left({\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}\right)}$

そして

${\displaystyle \theta =arccos\left({\frac {\left(\psi _{S}-\psi _{\Delta }\right)\lambda }{2\pi d}}\right)=arccos\left({\frac {\lambda }{2\pi d}}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta _{S}-{\frac {4}{N}}arctan\left({\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}\right)\right)\right)=arccos\left(cos\theta _{S}-{\frac {2\lambda }{N\pi d}}arctan\left({\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}\right)\right)}$

この偏差角は正または負の値を取ることができ、ビーム指向角に追加されて、実際のターゲット方位角のより正確な推定値が得られます。もちろん、アレイが平面アレイなどの 2 次元の場合は、2 つのデルタ チャネル (仰角用と方位角用) が存在するため、2 つのモノパルス比が形成されます。

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