林業において、 最適な伐採年齢 とは、木材の林分から最大限の価値を引き出すために必要な成長期間のことです。この期間の計算は、各林分と伐採者の経済的および持続可能性の目標に応じて異なります。
経済的に最適な回転年齢 森林 ローテーション分析では、経済的に最適なローテーションとは、「 伐採した立木 の収穫によって最大の収益または経済的収穫が得られるローテーションの年齢」と定義できます。 経済的に最適な 森林ローテーション分析では 、最適なローテーション年齢の決定は、最大正味現在価値を計算することによって行われます。これは次のように示されます。
NPV と回転年数および収益との関係 収益（R）＝数量×価格 コスト (C) = 収穫コスト + 処理コスト。 したがって、利益 = 収益 − コストとなります。 利益は複数年にわたって生み出されるため、最大の収益を生み出す収穫 時期を計算する必要があります 。収益が最大になる時期は、将来の期待利益を割り引いて計算され、収益とコストの現在価値が算出されます。この値から、利益の正味現在価値 (NPV) が計算されます。これは次のようにして行うことができます。
ここで、PVR は収益の現在価値、PVC はコストの現在価値です。ローテーションは NPV が最大になるところで実行されます。
図に示すように、経済的に最適な輪作年齢は、期待される利益/収益の正味現在価値が最大となる点 R で決定されます。R より前または後のどの年齢で輪作しても、期待される利益/収益は低下します。
生物学的に最適な回転年齢 平均年間増加量のグラフ。 生物学者は、最大持続収穫量 (MSY) または平均年間増加量 (MAI)の概念を使用して 、木材の最適な伐採年齢を決定します。MSY は、「資源 (木材) を回復不能に枯渇させることなく、将来の使用のために資源を良好な状態に保つ収穫可能な最大収穫量」と定義できます。MAI は、「特定の時点までの個々の木または林分の体積の年間平均増加量」と定義できます。MAI は、樹木の生涯におけるさまざまな成長段階を通じて変化します。中年に最も高くなり、その後は年齢とともに減少します。MAI がピークに達する時点は、樹木の生物学的成熟度、および「伐採に適した性的な状態」を識別するために一般的に使用されます - コール グレフ博士、1984 年。
森林の樹齢が増すにつれ、最初は体積の増加率が低くなりますが、一定期間が経過すると体積は急速に増加し始め、最大に達します。その後、体積の増加率は低下し始めます。これは MAI と直接関係しており、MAI は緩やかな増加率で増加し、その後はより速い増加率で増加し、中年期 (A) に最大 (ポイント M) に達し、体積の増加がなくなるピークに達します。ポイント M を超えるか、樹齢 A に達すると、MAI は減少し始めます。
したがって、生物学的観点から最適な回転年齢は、MAI の傾き がゼロになる点とみなされ、これは MAI と 周期的年間増加量 (PAI)の交点に相当します 。これは、右の図の点「M」で示され、ここで生成される体積は V です。年齢 A を超えると、MAI は減少し始めます。
非木材林の利用と輪作への影響 これまでの分析では、木材生産の観点から最適な回転年齢のみを計算しましたが、森林から得られる他のさまざまな 非木材林産物 (NTFP) を組み込むと、最適な回転年齢は大幅に変わります。立木に依存する NTFP の場合、最適な回転年齢は上方にシフトします。つまり、回転年齢が上がります。次の図を使用して説明できます。
ここでは、元の輪作年齢が R1 と推定されていることがわかりますが、立木に依存する NTFP の価値を組み込むと、将来の期待利益が増加し、NPV が P1 から P2 に増加します。この NPV の増加により、輪作年齢が増加します。これは、木/木材をより長く立木にして R2 に収穫する方が、事前に決定された R1 の年齢で収穫するよりも有利になるためです。
伐採年齢の変化を強制する要因 収穫年齢に影響を与える要因は数多くあります。輪作年齢に影響を与える主な要因としては、収穫と処理の価格、割引率、将来の価格、植栽コスト、再投資オプション、輪作回数、NTFPの使用、非市場的生態学的サービス、非生態学的レクリエーションサービスなどがあります。 [1]
数学モデル 木々の成長率が次の方程式を満たすと仮定します。 ここで、 は 商品となる木材の体積を表します。 ロジスティック方程式 をこのように修正すると、次の解が得られます。ここで、 は伐採される木材の量 である 最適制御 問題を 解くことに関心があるとします 。最終時間は 固定されていると仮定します。これは、 ハミルトニアン につながります。 したがって。ほとんどの線形制御問題と同様に、 特異制御アーク に遭遇しました 。随伴方程式は次のとおりです。 特異解 を解くと 、次のことがわかります。問題文の支配微分方程式を使用すると、特異制御が 次のようになること がわかります。 最大原理 によれば 、最適伐採率は次のようになります。 を見つけるには 、 のときの時刻を見つける必要があります 。 たとえば、 の場合、 切り替え時間は次のようになります。
d 五
d t
=
1つの
1 + b t
五
（
1 −
五
け
）
、 五 （ 0 ） =
五
0
{\displaystyle {dV \over {dt}}={a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right),\quad V(0)=V_{0}}
五 （ t ）
{\displaystyle V(t)}
五 （ t ） =
け
1 +
け −
五
0
五
0
（ 1 + b t
）
− 1つの
/
b
{\displaystyle V(t)={K \over {1+{K-V_{0} \over {V_{0}}}(1+bt)^{-a/b}}}}
最大
h （ t ）
∫
0
T
e
− δ t
h （ t ） d t
対象となる
d 五
d t
=
1つの
1 + b t
五
（
1 −
五
け
）
− h
h ∈ [ 0 、 ∞ ] 、 五 （ t ） ≥ 0
{\displaystyle {\begin{aligned}&&\max _{h(t)}\;\int _{0}^{T}e^{-\delta t}h(t)\;dt\\{\text{subject to}}&&{dV \over {dt}}={a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\\&&h\in [0,\infty ],\;V(t)\geq 0\end{aligned}}}
h （ t ）
{\displaystyle h(t)}
T
{\displaystyle T}
H
= h + λ
[
1つの
1 + b t
五
（
1 −
五
け
）
− h
]
⟹
∂
H
∂ h
= 1 − λ
{\displaystyle {\mathcal {H}}=h+\lambda \left[{a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\right]\implies {\partial {\mathcal {H}} \over {\partial h}}=1-\lambda }
λ
∗
=
1
{\displaystyle \lambda ^{*}=1}
λ
˙
−
δ
λ
=
−
∂
H
∂
V
=
−
λ
a
1
+
b
t
(
1
−
2
V
K
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\lambda }}-\delta \lambda &=-{\partial {\mathcal {H}} \over {\partial V}}\\&=-\lambda {a \over {1+bt}}\left(1-{2V \over {K}}\right)\end{aligned}}}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
∗
=
K
2
[
1
−
δ
a
(
1
+
b
t
)
]
{\displaystyle V^{*}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+bt)\right]}
h
∗
{\displaystyle h^{*}}
h
∗
=
a
1
+
b
t
V
∗
(
1
−
V
∗
K
)
−
V
˙
∗
=
K
4
[
a
1
+
b
t
−
δ
2
a
(
1
+
b
t
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{*}&={a \over {1+bt}}V^{*}\left(1-{V^{*} \over {K}}\right)-{\dot {V}}^{*}\\&={K \over {4}}\left[{a \over {1+bt}}-{\delta ^{2} \over {a}}(1+bt)\right]\end{aligned}}}
h
(
t
)
=
{
0
,
t
∈
(
0
,
τ
)
h
∗
,
t
∈
(
τ
,
T
)
∞
,
t
=
T
{\displaystyle h(t)={\begin{cases}0,\quad &t\in (0,\tau )\\h^{*},\quad &t\in (\tau ,T)\\\infty ,\quad &t=T\end{cases}}}
τ
{\displaystyle \tau }
V
=
V
∗
{\displaystyle V=V^{*}}
K
1
+
K
−
V
0
V
0
(
1
+
b
τ
)
−
a
/
b
=
K
2
[
1
−
δ
a
(
1
+
b
τ
)
]
{\displaystyle {K \over {1+{K-V_{0} \over {V_{0}}}(1+b\tau )^{-a/b}}}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+b\tau )\right]}
δ
=
0
{\displaystyle \delta =0}
τ
=
1
b
[
(
K
−
V
0
V
0
)
b
/
a
−
1
]
{\displaystyle \tau ={1 \over {b}}\left[\left({K-V_{0} \over {V_{0}}}\right)^{b/a}-1\right]}
参照
参考文献
^ Roberge, Jean-Michel; et al. (2016). 「林業における回転期間の変更による社会生態学的影響」 Ambio . 45, Suppl. 2 (Suppl 2): S109–S123. Bibcode :2016Ambio..45S.109R. doi : 10.1007/s13280-015-0747-4. PMC 4705071. PMID 26744047.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&\max _{h(t)}\;\int _{0}^{T}e^{-\delta t}h(t)\;dt\\{\text{subject to}}&&{dV \over {dt}}={a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\\&&h\in [0,\infty ],\;V(t)\geq 0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6423b42804789d3759aa45cca37c0b1fd483da30)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=h+\lambda \left[{a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\right]\implies {\partial {\mathcal {H}} \over {\partial h}}=1-\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857075b5a2c1932c88e5e958514d89b03e4bc000)
![{\displaystyle V^{*}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+bt)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba7c8042e2159afcfffa03af1858e2010c4e75c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h^{*}&={a \over {1+bt}}V^{*}\left(1-{V^{*} \over {K}}\right)-{\dot {V}}^{*}\\&={K \over {4}}\left[{a \over {1+bt}}-{\delta ^{2} \over {a}}(1+bt)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00cbbea77e4d2a086e05ba5557417ebe805de45f)
![{\displaystyle {K \over {1+{K-V_{0} \over {V_{0}}}(1+b\tau )^{-a/b}}}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+b\tau )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3548c128eebb9b5b29ef4f6677e94a3d9e81f008)
![{\displaystyle \tau ={1 \over {b}}\left[\left({K-V_{0} \over {V_{0}}}\right)^{b/a}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b40aa08d21ef3b7bdc19034c0201eb78a0db11)