乗法的独立性

整数論では、2つの正の整数 aとbが、それらの唯一の共通の整数乗が1である場合に、乗法的に独立していると言われます^[1] 。つまり、整数nとmに対して、が成り立ちます。乗法的に独立していない2つの整数は、乗法的に従属していると言われます。 ${\displaystyle a^{n}=b^{m}}$${\displaystyle n=m=0}$

たとえば、36 と 216 は なので乗法的に依存しますが、2 と 3 は乗法的に独立しています。 ${\displaystyle 36^{3}=(6^{2})^{3}=(6^{3})^{2}=216^{2}}$

乗法的に独立であることは、他のいくつかの特徴付けを許容します。aとbは、 が無理数のときのみ乗法的に独立です。この特性は、対数の底とは無関係に成り立ちます。 ${\displaystyle \log(a)/\log(b)}$

およびをaとbの標準表現とします。整数aとb が乗法的に従属するのは、 k  =  lの場合、かつすべてのiと j に対しての場合のみです。 ${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle b=q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}\cdots q_{l}^{\beta _{l}}}$${\displaystyle p_{i}=q_{i}}$${\displaystyle {\frac {\alpha _{i}}{\beta _{i}}}={\frac {\alpha _{j}}{\beta _{j}}}}$

基数aとb のBüchi 算術は、 aとbが乗法的に依存している場合にのみ、同じ集合を定義します。

aとb を乗法的に依存する整数、つまり、となるn,m>1 が存在するものとします。基数a での展開の長さが最大でmである整数c は、基数bでの展開の長さが最大でnである整数とまったく同じです。これは、基数aの展開が与えられた数の基数b展開の計算は、 基数aのm桁の連続するシーケンスを基数bのn桁の連続するシーケンスに変換することによって実行できることを意味します。 ${\displaystyle a^{n}=b^{m}}$

^[2]