多因子分析

導入例の3番目の分析では、植物と土壌のバランスが暗黙のうちに想定されています。しかし、この例では、植物が50個の変数で、土壌が11個の変数で表されているという事実だけで、61個の有効変数を用いた主成分分析（PCA）は、少なくとも第1軸において、主に植物の影響を受けることになります。これは望ましくありません。分析において、一方のグループがより重要な役割を果たすことを望む理由はないからです。

MFAの中核は、変数に重み付けを行う因子分析（量的変数の場合はPCA、質的変数の場合はMCA）に基づいています。これらの重みは、同じグループの変数に対しては同一であり（グループごとに異なります）、グループの最大軸方向慣性が1になるように設定されます。つまり、この重み付けを用いて1つのグループにPCA（または該当する場合はMCA）を適用すると、最初の固有値が1になります。この特性を得るために、MFAはグループの各変数に値を割り当てます。${\displaystyle j}$分析（変数の種類に応じてPCAまたはMCA）のグループの第一固有値の逆数に等しい重み${\displaystyle j}$。

正式には、${\displaystyle \lambda _{1}^{j}}$1つのグループの因子分析の最初の固有値${\displaystyle j}$MFAは重みを割り当てます${\displaystyle 1/\lambda _{1}^{j}}$グループの各変数について${\displaystyle j}$。

全慣性（標準的な主成分分析における変数の数）ではなく、最大軸方向慣性のバランスを取ることで、MFAはユーザーにとっていくつかの重要な特性を持つようになります。より直接的に言えば、その利点は次の例に示されています。

同じ個体群に対して定義された2つの変数群を考えます。

1. グループ1は、互いに相関のない2つの変数AとBで構成されています。
2. グループ2は、最初の2つの変数とは無相関の同じ変数Cと同一の2つの変数{C1, C2}で構成されています。

この例は全く非現実的というわけではない。多次元グループと（ほぼ）一次元グループを同時に分析する必要がある場面はしばしばある。

変数の数が同じグループは、総慣性も同じである。

この例では、PCAの第1軸はCとほぼ一致しています。実際、変数空間において、Cの方向には2つの変数が存在します。グループ2は、その慣性がすべて一方向に集中しているため、主に第1軸に影響を与えます。一方、2つの直交変数（＝無相関）からなるグループ1は、その慣性が平面（2つの変数によって生成される平面）に均一に分布しているため、第1軸への影響はほとんどありません。

数値例

表2は、表1に適用したPCAとMFAの最初の2つの軸の慣性をまとめたものです。

グループ2の変数は、PCAの軸1の慣性の88.95%に寄与します。第1軸（${\displaystyle F_{1}}$）はCとほぼ一致している：Cと${\displaystyle F_{1}}$0.976です。

MFAの第1軸（表1のデータに基づく）は、2つの変数グループ間のバランスを示しています。この軸の慣性に対する各グループの寄与は厳密に50%です。

一方、第2軸はグループ1のみに依存します。これは、グループ1が2次元であるのに対し、第2グループは1次元であるため、1つの軸（ここでは第1軸）にのみ強く関連づけられるという点で自然なことです。

因子分析において複数の有効な変数群を導入することは、暗黙のうちにこれらの変数群間のバランスを前提としている。

このバランスを取る際には、多次元グループは一次元グループよりも多くの軸に影響を与える（一次元グループは必ずしも一つの軸に密接に関連しているとは限らない）という事実を考慮に入れなければならない。

各グループの最大軸方向慣性モーメントを1に等しくするMFAの重み付けが、この役割を果たします。

MFAの中核は加重因子分析です。MFAはまず、因子分析の古典的な結果を提供します。

1.異なる変数グループの多くの変数で類似した値を示す場合、2人の個人は互いに近いとみなされる個人の表現。実際には、ユーザーは特に第1因子平面を研究する。

2.主成分分析（PCA）における量的変数の表現（相関円）。

例：

• 第1軸は主に個体1と個体5に反対する（図1）。
• 4つの変数はすべて正の座標を持ちます（図2）。第1軸はサイズ効果を表しています。したがって、個体1はすべての変数において低い値を示し、個体5はすべての変数において高い値を示します。

3.解釈を助ける指標：予測される慣性、貢献度、および表現の質。この例では、個人1と個人5が第1軸の慣性に寄与する割合は45.7% + 31.5% = 77.2%であり、この2点に焦点を当てた解釈が正当化されます。

4. MCAのように質的変数のカテゴリを表現する（カテゴリは、そのカテゴリを持つ個人の重心に位置する）。この例には質的変数は含まれていない。

5.各グループが「見る」個人の重ね合わせ表現。単一のグループの視点から考察された個人は部分個人と呼ばれる（同様に、すべての変数の視点から考察された個人は、その部分点の重心に位置するため、平均個人と呼ばれる）。部分クラウド  ${\displaystyle N_{i}^{j}}$集める${\displaystyle I}$単一グループの視点から見た個人${\displaystyle j}$（つまり）${\displaystyle {i^{j},j=1,J}}$つまり、グループの個別の因子分析（PCAまたはMCA）で分析されたクラウドです。${\displaystyle j}$重ね合わせた表現${\displaystyle N_{i}^{j}}$MFAによって提供されるものは、プロクルステス分析によって提供されるものと目的が似ています。

例（図3）では、個体1はグループ1とグループ2の両方においてサイズが小さい（つまり値が小さい）という特徴があります（個体1の部分点は負の座標を持ち、互いに近接しています）。一方、個体5はグループ1の変数よりもグループ2の変数の値が大きいという特徴があります（個体5の場合、グループ2の部分点はグループ1の部分点よりも原点から遠い位置にあります）。このグラフの解釈は、データで直接確認できます。

6.変数群の表現。これらのグラフでは、各変数群は単一の点で表されます。2つの変数群は、個体に対して同じ構造を定義する場合に互いに近いとみなされます。極端な例：個体の相似なクラウドを定義する2つの変数群。${\displaystyle N_{i}^{j}}$一致する。グループの座標${\displaystyle j}$軸に沿って${\displaystyle s}$グループの貢献に等しい${\displaystyle j}$MFAのランク次元の慣性に対して${\displaystyle s}$この貢献は、グループ間の関係の指標として解釈できます。${\displaystyle j}$そして軸${\displaystyle s}$そのため、このタイプの表現には「関係スクエア」という名前が付けられています。この表現は、他の因子分析法（特にMCAとFAMD）にも存在し、その場合は変数のグループがそれぞれ単一の変数に縮小されます。

この例（図4）では、第1軸が2つの変数グループに関連し、第2軸が第1グループに関連していることがわかります。これは変数の表現（図2）と一致しています。実際には、この表現はグループが多く、多くの変数を含む場合に特に役立ちます。

その他の読み取りグリッド。2 つの変数グループは、サイズ効果 (第 1 軸) を共通して持ち、第 2 軸はグループ 1 に特有のものであるため (変数 A と B に反対する)、軸によって異なります。

7.各グループの個別分析における要因の表現。これらの要因は、補足的な量的変数（相関円）として表現される。

例（図 5）では、MFA の第 1 軸は、グループ 2 の第 1 成分と比較的強い相関 (r = .80) があります。このグループは、2 つの同一の変数で構成されており、主成分は 1 つ (変数と混同) しかありません。グループ 1 は 2 つの直交する変数で構成されています。これらの 2 つの変数によって生成される部分空間のどの方向でも同じ慣性 (1 に等しい) を持ちます。したがって、主成分の選択には不確実性があり、そのうちの 1 つに特に関心を持つ理由はありません。ただし、プログラムによって提供される 2 つの成分は適切に表現されています。MFA の平面は、グループ 1 の 2 つの変数によって張られる平面に近くなっています。