モローの定理

数学において、モローの定理はフランスの数学者ジャン＝ジャック・モローにちなんで名付けられた凸解析の結果である。これは、ヒルベルト空間上の十分に振る舞いの良い凸関数は微分可能であり、その導関数は、レゾルベント演算子によって定義されるいわゆるヨシダ近似によって十分に近似されることを示す。

H をヒルベルト空間とし、 φ  :  H  →  R  ∪ {+∞} をH上の真、凸、下半連続の 拡張実数値汎関数とする。Aを∂ φ、φの部分微分とする。α  > 0に対して、J _{α を}レゾルベントとする。

${\displaystyle J_{\alpha }=(\mathrm {id} +\alpha A)^{-1};}$

そしてA _{α を}Aの吉田近似とする。

${\displaystyle A_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}(\mathrm {id} -J_{\alpha })。}$

α  > 0かつx  ∈  Hのそれぞれに対して、

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)=\inf _{y\in H}{\frac {1}{2\alpha }}\|yx\|^{2}+\varphi (y).}$

それから

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)={\frac {\alpha }{2}}\|A_{\alpha }x\|^{2}+\varphi (J_{\alpha }(x))}$

そしてφ _{α は}凸かつフレシェ微分可能であり、導関数 d φ _α  =  A _αを持つ。また、各x  ∈  H (点ごと) に対して、φ _α ( x ) はα → 0のときにφ ( x )に上方収束する 。

• ショーウォルター、ラルフ E. (1997)。バナッハ空間における単調演算子と非線形偏微分方程式。数学調査とモノグラフ 49。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。pp. 162–163。ISBN 0-8218-0500-2。 MR 1422252 (命題 IV.1.8)