モナド変換器

関数型プログラミングでは、モナド トランスフォーマーは、モナドを引数として受け取り、結果としてモナドを返す 型コンストラクタです。

モナド トランスフォーマーは、状態、例外処理、I/Oなど、モナドによってカプセル化された機能をモジュール方式で構成するために使用できます。通常、モナド トランスフォーマーは既存のモナドを一般化することによって作成されます。結果として得られるモナド トランスフォーマーを恒等モナドに適用すると、元のモナドと同等のモナドが生成されます (必要なボックス化とアンボックス化は無視されます)。

モナドトランスフォーマーは以下で構成されます:

1. 種類tの型コンストラクタ (* -> *) -> * -> *
2. モナド演算returnおよびbind（または同等の定式化）は、モナド法則を満たすモナドでt mあるすべてのものに対して成り立ちます。m
3. 追加の演算 はlift :: m a -> t m a、以下の法則を満たす: ^[1] (以下の表記は`bind`中置適用を示す):
   1. lift . return = return
   2. lift (m `bind` k) = (lift m) `bind` (lift . k)

任意のモナド が与えられた場合、オプションモナド変換器( はオプション型を表す) は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$${\displaystyle \mathrm {M} \left(A^{?}\right)}$${\displaystyle A^{?}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow \mathrm {M} \left(A^{?}\right)=a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {Just} \,a)\\\mathrm {bind} :&\mathrm {M} \left(A^{?}\right)\rightarrow \left(A\rightarrow \mathrm {M} \left(B^{?}\right)\right)\rightarrow \mathrm {M} \left(B^{?}\right)=m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,\left(a\mapsto {\begin{cases}{\mbox{return Nothing}}&{\mbox{if }}a=\mathrm {Nothing} \\f\,a'&{\mbox{if }}a=\mathrm {Just} \,a'\end{cases}}\right)\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} (A)\rightarrow \mathrm {M} \left(A^{?}\right)=m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {Just} \,a))\end{array}}}$

任意のモナドが与えられた場合、例外モナド変換器（Eは例外の型）は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$${\displaystyle \mathrm {M} (A+E)}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow \mathrm {M} (A+E)=a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {value} \,a)\\\mathrm {bind} :&\mathrm {M} (A+E)\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} (B+E))\rightarrow \mathrm {M} (B+E)=m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,\left(a\mapsto {\begin{cases}{\mbox{return err }}e&{\mbox{if }}a=\mathrm {err} \,e\\f\,a'&{\mbox{if }}a=\mathrm {value} \,a'\end{cases}}\right)\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow \mathrm {M} (A+E)=m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {value} \,a))\\\end{array}}}$

任意のモナドが与えられた場合、リーダーモナドトランスフォーマー（Eは環境型）は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$${\displaystyle E\rightarrow \mathrm {M} \,A}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,A=a\mapsto e\mapsto \mathrm {return} \,a\\\mathrm {bind} :&(E\rightarrow \mathrm {M} \,A)\rightarrow (A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,B)\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,B=m\mapsto k\mapsto e\mapsto \mathrm {bind} \,(m\,e)\,(a\mapsto k\,a\,e)\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,A=a\mapsto e\mapsto a\\\end{array}}}$

任意のモナドが与えられた場合、状態モナド変換器（Sは状態型）は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$${\displaystyle S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)=a\mapsto s\mapsto \mathrm {return} \,(a,s)\\\mathrm {bind} :&(S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S))\rightarrow (A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (B\times S))\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (B\times S)=m\mapsto k\mapsto s\mapsto \mathrm {bind} \,(m\,s)\,((a,s')\mapsto k\,a\,s')\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)=m\mapsto s\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} \,(a,s))\end{array}}}$

任意のモナド が与えられた場合、ライターモナド変換器( Wに単位元 を持つモノイド演算∗が付与されている) は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$${\displaystyle \mathrm {M} (W\times A)}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow \mathrm {M} (W\times A)=a\mapsto \mathrm {return} \,(\varepsilon ,a)\\\mathrm {bind} :&\mathrm {M} (W\times A)\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} (W\times B))\rightarrow \mathrm {M} (W\times B)=m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,((w,a)\mapsto \mathrm {bind} \,(f\,a)\,((w',b)\mapsto \mathrm {return} \,(w*w',b)))\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow \mathrm {M} (W\times A)=m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} \,(\varepsilon ,a))\\\end{array}}}$

任意のモナド が与えられると、継続モナド変換器は任意の型R を型 の関数にマッピングします。ここで、Rは継続の結果の型です。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {M} \,A}$${\displaystyle (A\rightarrow \mathrm {M} \,R)\rightarrow \mathrm {M} \,R}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {return} \colon &A\rightarrow \left(A\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R=a\mapsto k\mapsto k\,a\\\mathrm {bind} \colon &\left(\left(A\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \left(A\rightarrow \left(B\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \left(B\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R=c\mapsto f\mapsto k\mapsto c\,\left(a\mapsto f\,a\,k\right)\\\mathrm {lift} \colon &\mathrm {M} \,A\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} \,R)\rightarrow \mathrm {M} \,R=\mathrm {bind} \end{array}}}$

モナド変換は通常は可換ではないことに注意してください。たとえば、状態変換器をオプション モナドに適用すると、型(失敗して最終状態を生成しない可能性がある計算) が生成されますが、逆の変換では型(最終状態とオプションの戻り値を生成する計算) が生成されます。 ${\displaystyle S\rightarrow \left(A\times S\right)^{?}}$${\displaystyle S\rightarrow \left(A^{?}\times S\right)}$

• 関数型プログラミングにおけるモナド

Wikibook Haskellには、モナド変換子に関するページがあります。

• モナド変換子と関連概念に関する文献のいくつかを簡単にレビューした、非常に技術的なブログ投稿。カテゴリ理論的処理に重点を置いています。