マクローリンの不等式

数学において、コリン・マクローリンにちなんで名付けられたマクローリンの不等式は、算術平均と幾何平均の不等式を改良したものである。

させて${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$は非負の実数であり、${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$平均値を定義する${\displaystyle S_{k}}$次のように：

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}$

この分数の分子は次数 の基本対称多項式です${\displaystyle k}$で${\displaystyle n}$変数${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$つまり、すべての積の合計${\displaystyle k}$数字の${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$指数は昇順に並べます。分母は分子の項数、二項係数です。${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$マクローリンの不等式は、以下の不等式の連鎖である。

${\textstyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$、

平等であるのは、すべての${\displaystyle a_{i}}$等しい。

マクローリンの不等式は、ニュートンの不等式、またはベルヌーイの不等式の一般化バージョンを用いて証明することができる。

のために${\displaystyle n=2}$マクローリンの不等式は、2つの非負の数に対する算術平均と幾何平均の不等式を与える。

のために${\displaystyle n=4}$マクローリンの不等式は次のように述べている。

${\begin{aligned}&\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\[8pt]&\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\[8pt]&\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\[8pt]&\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}$

• ベルヌーイの不等式
• ボンフェローニの不等式
• 一般化された平均不平等
• ミュアヘッドの不平等
• ニュートンの不等式

• ビラー、ピョートル；ヴィトコフスキ、アルフレッド（1990）。数学解析の問題。ニューヨーク、NY：M.デッカー。ISBN 0-8247-8312-3。

この記事は、 PlanetMathに掲載されている MacLaurin の Inequality の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。

手紙| 1729 年 4 月 30 日 IV. エディンバラ大学の数学教授で FRS のコリン・マクローリン氏からマーティン・フォルクス氏への 2 通目の手紙。方程式の根について、および代数学におけるその他の規則の証明について。これは Philosophical Transactions、第 394 号に掲載された手紙の続きです。コリン・マクローリン著者および記事情報 Phil. Trans. R. Soc. (1729) 36 (408): 59–96.

https://doi.org/10.1098/rstl.1729.0011

https://royalsocietypublishing.org/rstl/article/36/408/59/110768/IV-A-second-letter-from-Mr-Colin-McLaurin