ルモワンヌの推測

数論において、エミール・ルモワーヌにちなんで名付けられたルモワーヌ予想、あるいはハイマン・レヴィにちなんで名付けられたレヴィ予想は、5 より大きいすべての奇数の整数は、奇数の素数と偶数の半素数の和として表すことができるというものである。

この予想は1895年にエミール・ルモワーヌによって提起されたが、 MathWorldでは1960年代にこの予想を熟考したハイマン・レヴィによるものと誤って伝えられた。 ^[1]

2008年にサンが提唱した同様の予想では、3より大きいすべての奇数は、素数と2つの連続する正の整数の積（p + x（x +1））の和として表すことができるとされている。^[2]

代数的に言えば、2 n + 1 = p + 2 qは、 n > 2 に対して、常に素数pとq (必ずしも異なるとは限らない)に解を持ちます。ルモワーヌ予想は、ゴールドバッハの弱い予想に似ていますが、それよりも強力です。

たとえば、奇数 47 は、素数と半素数の合計として 4 つの異なる方法で表現できます。

47 = 13 + 2×17 = 37 + 2×5 = 41 + 2×3 = 43 + 2×2。

これを実行できる方法の数は、OEISシーケンス A046927 (p と q が素数の場合に 2n+1 を p+2q として表す方法の数) で与えられます。Lemoine の予想では、このシーケンスには最初の 3 つの後にゼロは含まれません。

MathWorldによると、この予想はコービットによって10 ⁹まで検証されている。^{[1] 2019年6月のブログ投稿ではさらに、この予想が10 10}まで検証されたと主張されている。^[3]

2017年にアガマとゲンゼルによって証明が主張されたが、後に欠陥があることが判明した。^[4]

• ルモワーヌの予想とその拡張

• Emile Lemoine、L'intermédiare des mathématiciens、1 (1894)、179;同書3 (1896)、151。
• H. レヴィ、「ゴールドバッハの予想について」、数学雑誌 47 (1963): 274
• L.ホッジス、「あまり知られていないゴールドバッハ予想」、 Math . Mag.、66 (1993): 45–47。doi :10.2307/2690477。JSTOR 2690477
• John O. Kiltinen および Peter B. Young、「Goldbach、 Lemoine、および Know/Don't Know 問題」、Mathematics Magazine、58 (4) (1985 年 9 月)、pp. 195–203。doi :10.2307/2689513。JSTOR  2689513
• リチャード・K・ガイ、数論における未解決問題、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、2004年：C1

• Jay Warendorff による Levy の予想、Wolfram Demonstrations Project。