ケリーの補題

確率論において、ケリーの補題は、定常連続時間マルコフ連鎖に対して、時間反転過程として定義される過程は、順方向過程と同じ定常分布を持つということを述べています。^{[1]この定理は}フランク・ケリーにちなんで名付けられました。^{[2] [3] [4] [5]}

状態空間Sと遷移率行列 Q（要素q _ij ）を持つ連続時間マルコフ連鎖において、次の条件を満たす非負数q' _ijの集合と正の測度πを見つけることができる場合： ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j\in S}q_{ij}&=\sum _{j\in S}q'_{ij}\quad \forall i\in S\\\pi _{i}q_{ij}&=\pi _{j}q_{ji}'\quad \forall i,j\in S,\end{aligned}}}$

q' _{ij は}逆過程の速度であり、πは両方の過程の定常分布に比例します。

q _ijとπに関する仮定から、

${\displaystyle \sum _{i\in S}\pi _{i}q_{ij}=\sum _{i\in S}\pi _{j}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q_{ji}=\pi _{j},}$

したがって、グローバルバランス方程式は満たされ、測度π は元のプロセスの定常分布に比例します。対称性により、同じ議論から、πは逆のプロセスの定常分布にも比例することが示されます。