カルマンの予想

カルマン予想またはカルマン問題は、線形安定性の分野に属する、1つのスカラー非線形性を持つ非線形制御システムの絶対安定性に関する 反証された予想です。カルマン予想はアイザーマン予想を強化したもので、マルクス-山辺予想 の特殊なケースです。この予想は誤りであることが証明されましたが、絶対安定性に関する（有効な）十分な基準につながりました。

1957年にREカルマンは論文 ^[1]の中で次のように述べています。

図1のf ( e )がf '( e )のすべての可能な値に対応する定数Kに置き換えられ、閉ループシステムがそのようなすべてのKに対して安定していることが判明した場合、システムは単安定でなければならないことが直感的に明らかになります。つまり、すべての過渡解は、一意の安定した臨界点に収束します。

カルマンの主張は次のような推測で言い換えることができる: ^[2]

1つのスカラー非線形性を持つシステムを考える

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in R^{n},}$

ここで、Pは定数n × n行列、q、rは定数n次元ベクトル、∗は転置演算、f ( e )はスカラー関数、f (0)=0である。f ( e )は微分可能関数であり、次の条件が満たされると 仮定する。

${\displaystyle k_{1}<f'(e)<k_{2}.\,}$

は有効です。すると、カルマンの予想は、f ( e ) =  ke、k  ∈ ( k ₁、  k ₂ )のすべての線形システムが漸近的に安定である場合、システムは大規模に安定している（つまり、唯一の定常点はグローバルアトラクターである）というものです。

アイザーマンの予想では、非線形性の微分に関する条件の代わりに、非線形性自体が線形セクターに属することが要求されます。

カルマン予想はn  ≤ 3の場合に成り立ち、 n  > 3の場合は反例を構築するための効果的な方法がある: ^{[3] [4]}非線形導関数は線形安定性のセクターに属し、唯一の安定平衡が安定周期解(隠れた振動)と共存する。

離散時間では、カルマン予想はn=1の場合にのみ成り立ち、 n≥2の反例 を構築することができる。^{[5] [6]}

• Leonov GA; Kuznetsov NV (2011). 「非線形制御システムにおける隠れた振動の調査のための解析的数値的手法」(PDF) . IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline) . 18 (1): 2494–2505. doi :10.3182/20110828-6-IT-1002.03315.

• アイザーマンとカルマンの予想に対する反例における隠れた振動の解析的数値的局在
• Maplecloud における離散時間反例