カチュロフスキーの定理

数学において、カチュロフスキーの定理は、バナッハ空間上の関数の凸性とそのフレシェ導関数の単調性を関連付ける定理である。

K をバナッハ空間Vの凸部分集合とし、f ​​ :  K  →  R  ∪ {+∞} を、K の各点xにおいて導関数 d f ( x ) :  V  →  Rでフレシェ微分可能な拡張実数値関数とします。(実際、 d f ( x ) は連続双対空間V ^∗の要素です。) このとき、以下は同値です。

• f は凸関数である。
• Kのすべてのxとyに対して、

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)(yx)\leq f(y)-f(x);}$

• d f は（増加する）単調演算子であり、すなわちKのすべてのxとyに対して、

${\displaystyle {\big (}\mathrm {d} f(x)-\mathrm {d} f(y){\big )}(xy)\geq 0.}$

• ロードアイランド州カチュロフスキー (1960)。 「単調演算子と凸関数について」。ウスペキマット。ナウク。15 (4): 213–215。
• ショーウォルター、ラルフ E. (1997)。バナッハ空間における単調演算子と非線形偏微分方程式。数学調査とモノグラフ 49。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会。pp. 80。ISBN 0-8218-0500-2。 MR 1422252 (命題 7.4)