ジョンソンの放物線公式

構造工学において、ジョンソンの放物線式は、柱の臨界座屈応力を計算するための経験に基づいた式です。この式は、低細長比（回転半径と有効長さの比）条件下でのオイラーの臨界荷重式の代わりとして、1900 年頃の JB ジョンソンによる実験結果に基づいています。この式は、材料の降伏応力と、細長比と柱の座屈に必要な応力を関連付けるオイラーの式によって与えられる臨界座屈応力との 間を補間します。

座屈とは、構造が安定性を失う破壊モードを指します。これは構造剛性の欠如によって引き起こされます。 ^[1]細長い棒に荷重をかけると、試験片が圧縮によって破壊する前に座屈破壊が発生する可能性があります。^[2]

細長い柱の座屈に関するオイラーの公式は、座屈を引き起こす臨界応力レベルを与えるが、臨界座屈応力を低下させることが証明されている降伏などの材料破壊モードは考慮しない。ジョンソンの公式は、柱材料の降伏応力とオイラーの公式によって与えられた臨界応力の間を補間する。それは、オイラー座屈の破壊のグラフに放物線を当てはめることによって、新しい破壊境界を作成する。

${\displaystyle \sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}}$

オイラー曲線のグラフには、臨界細長比のところに遷移点があります。この点よりも細長値が低い場合 (断面積に比べて長さが比較的短い試料で発生)、グラフはジョンソン放物線に従います。対照的に、細長値が大きいほど、オイラー方程式に近づきます。

オイラーの公式は

${\displaystyle \sigma _{cr}={P_{cr} \over A}={\pi ^{2}EI \over AL_{e}^{2}}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}}$

どこ

${\displaystyle \sigma _{cr}=}$重大なストレス、

${\displaystyle P_{cr}=}$臨界力、

${\displaystyle A=}$断面積、

${\displaystyle L_{e}=}$ロッドの有効長さ、

${\displaystyle E=}$弾性係数、

${\displaystyle I=}$棒の断面の慣性モーメント、

${\displaystyle {l \over k}}$= 細長比。

オイラーの方程式は、理想的なピン留め-ピン留め柱のような状況や、有効長さを使用して既存の式を調整できる場合（つまり、固定-自由）に役立ちます。^[3]

（Lは力が加えられる前の試験片の元の長さです。）

しかし、特定の形状はオイラーの公式では正確に表現できません。上記の式で試料の形状を反映する変数の1つは細長比で、これは柱の長さを回転半径で割ったものです。^[4]

細長比は、長さと断面積による試験片の曲げや座屈に対する抵抗の指標である。細長比が臨界細長比より小さい場合、柱は短柱とみなされる。このような場合、ジョンソン放物線はオイラーの公式よりも適用しやすい。^[5] 部材の細長比は次のように求められる。${\displaystyle \left({\frac {l}{k}}\right)=L_{e}{\sqrt {A \over I}}}$

臨界細長比は

${\displaystyle \left({\frac {l}{k}}\right)_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}}$

航空宇宙用途でよく使われる材料の1つにアルミニウム2024があります。アルミニウム2024の特定の材料特性は、引張降伏強度（324 MPa）や弾性率（73.1 GPa）など、実験的に決定されています。^[6]オイラーの公式を使用して破壊曲線をプロットすることはできますが、特定の値（臨界細長比） を下回ると正確ではなくなります。${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {l}{k}}\right)}_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}={\sqrt {\frac {2\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9}}{324\times 10^{6}}}}=66.7}$

したがって、オイラー方程式は 66.7 より大きい値に適用できます。 ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$

オイラー：${\displaystyle \sigma _{cr}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}={\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9} \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}}$${\displaystyle {\frac {l}{k}}>66.7}$

（単位：パスカル）

ジョンソンの放物線は小さい値を処理します。 ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$

ジョンソン：${\displaystyle \sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}=324\times 10^{6}-{1 \over 73.1\times 10^{9}}{\left({\frac {324\times 10^{6}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}}$${\displaystyle 0\leq {\frac {l}{k}}\leq 66.7}$

（単位：パスカル）