カウントプロセスの強度

計数過程の強度は 、その予測可能な部分の変化率の尺度である。確率過程が計数過程である場合、それはサブマルチンゲールであり、特にそのドゥーブ・マイヤー分解は ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \{N(t),t\geq 0\}}$

${\displaystyle N(t)=M(t)+\Lambda (t)}$

ここで、はマルチンゲールであり、は予測可能な増加過程である。は累積強度と呼ばれ、次のよう に関係している。${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle \Lambda (t)}$${\displaystyle \Lambda (t)}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \Lambda (t)=\int _{0}^{t}\lambda (s)ds}$。

確率空間と、濾過に適応した計数プロセスが与えられた場合、 の強度は次の限界によって定義される プロセスです。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t},t\geq 0\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \{\lambda (t),t\geq 0\}}$

${\displaystyle \lambda (t)=\lim _{h\downarrow 0}{\frac {1}{h}}\mathbb {E} [N(t+h)-N(t)|{\mathcal {F}}_{t}]}$。

計数過程の右連続性により、この極限を右から取ることができます。^[1]

統計学習では、とその推定値の間の変動は、オラクル不等式を使用して制限できます。 ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$

計数過程が に制限され、その区間でiidコピーが観測される場合、強度の 最小二乗関数は${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots ,N_{n}}$

${\displaystyle R_{n}(\lambda )=\int _{0}^{1}\lambda (t)^{2}dt-{\frac {2}{n}}\sum _{i=1}^{n}\int _{0}^{1}\lambda (t)dN_{i}(t)}$

これはイトー積分を含む。 が に対して区分的に一定であると仮定すると、すなわち は定数のベクトルに依存し、次のように書ける。 ${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{m})\in \mathbb {R} _{+}^{m}}$

${\displaystyle \lambda _{\beta }=\sum _{j=1}^{m}\beta _{j}\lambda _{j,m},\;\;\;\;\;\;\lambda _{j,m}={\sqrt {m}}\mathbf {1} _{({\frac {j-1}{m}},{\frac {j}{m}}]}}$、

ここで、は標準ノルムの下で正規直交となるような係数を持ち、パラメータに依存する適切なデータ駆動型の重みを選択し、重み付きノルムを導入する ことによって${\displaystyle \lambda_{j,m}}$${\displaystyle {\sqrt {m}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\hat {w}}_{j}}$${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle \|\beta \|_{\hat {w}}=\sum _{j=2}^{m}{\hat {w}}_{j}|\beta _{j}-\ベータ _{j-1}|}$、

の推定値は次のように与えられます。 ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle {\hat {\beta}}=\arg \min _{\beta \in \mathbb {R} _{+}^{m}}\left\{R_{n}(\lambda _{\beta })+\|\beta \|_{\hat {w}}\right\}}$。

すると、推定量は となる。これらの前提を踏まえると、ノルムを境界とするオラクル不等式は次のようになる。 を適切に選択すると、 ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda _{\hat {\beta }}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \|{\hat {\lambda }}-\lambda \|}$${\displaystyle {\hat {w}}_{j}(x)}$

${\displaystyle \|{\hat {\lambda }}-\lambda \|^{2}\leq \inf _{\beta \in \mathbb {R} _{+}^{m}}\left\{\|\lambda _{\beta }-\lambda \|^{2}+2\|\beta \|_{\hat {w}}\right\}}$

以上の確率で。^[2]${\displaystyle 1-12.85e^{-x}}$