インアワー方程式

原子炉の反応速度論で反応度と原子炉周期を関連付けるために使用されるインアワー方程式。^[1]インアワーは「逆時間」の略で、安定した原子炉周期が1時間（3,600秒）になる反応度として定義されます。^[2]反応度は、Δk/kのパーセントミリ（pcm）またはドル で表現されるのが一般的です。^[3]

インアワー方程式は、反応性方程式（式1）を、式2で示されるインアワー単位の対応する値で割ることによって得られる。^[2]

${\displaystyle \rho (反応性)={\frac {l^{*}}{T_{p}}}+\sum _{i=1}^{6}{\frac {\beta _{i}}{1+\lambda _{i}T_{p}}}}$[式1]

${\displaystyle In={\frac {{\frac {l^{*}}{T_{p}}}+\sum _{i=1}^{6}{\frac {\beta _{i}}{1+\lambda _{i}T_{p}}}}{{\frac {l^{*}}{3600}}+\sum _{i=1}^{6}{\frac {\beta _{i}}{1+\lambda _{i}3600}}}}}$[式2]

       ρ = 反応性

       l* = 中性子生成時間

       T p = 原子炉周期

       β i = i番目の種類の遅延中性子の割合

       λ i = i番目の種類の前駆崩壊定数

_{反応度が小さい場合や原子炉周期が大きい場合には、λ i} T _pやλ _i 3600と比較して1は無視でき、インアワー方程式は式3のように簡略化できます。^[2]

${\displaystyle In={\frac {3600}{T_{p}}}}$[式3]

インアワー方程式は、ポイント運動方程式から最初に導出されます。ポイント原子炉運動モデルは、空間フラックス形状が時間とともに変化しないと仮定します。これにより、空間依存性が排除され、中性子集団の時間による変化のみが考慮されるようになります。^[3]中性子集団のポイント運動方程式は、式4に示されています。

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}={\frac {k(1-\beta )-1}{l}}n(t)+\sum _{i=1}^{I}\lambda _{i}C_{i}(t)}$[式4]

ここで、k = 増倍係数（生成された中性子数/破壊された中性子数）

遅延中性子（原子炉内の核分裂生成物から生成される）は、原子炉の時間挙動と反応性に寄与する。 ^[4]現代の熱中性子炉における即発中性子の寿命は約 10 ⁻⁴秒であるため、即発中性子だけで原子炉の挙動を制御することは現実的ではない。原子炉の時間挙動は、即発中性子と遅延中性子の収率を重み付けして平均中性子寿命 Λ = l / k、つまり中性子の誕生から核分裂を誘発するその後の吸収までの平均生成時間を取得することで特徴付けることができる。^[5] 反応性 ρ は、k 有効値または (k-1) / k の変化である。^[3]

平均減衰定数Cを持つ1つの有効遅延基の場合、点運動方程式は式5と式6 ^{[1] [3]}に簡略化され、一般解はそれぞれ式7と式8になります。

${\displaystyle {\frac {dP}{dT}}={\frac {\rho _{o}-\beta }{\Lambda }}P(t)+\lambda C(t)}$[式5]

${\displaystyle {\frac {dC}{dT}}={\frac {\beta }{\Lambda }}P(t)-\lambda C(t)}$[式6]

一般的な解決策

${\displaystyle P(t)=P_{1}e^{s_{1}t}+P_{2}e^{s_{2}t}}$[式7]

${\displaystyle C(t)=C_{1}e^{s_{1}t}+C_{2}e^{s_{2}t}}$[式8]

どこ

${\displaystyle s_{1}={\frac {\lambda \rho _{o}}{\beta -\rho _{o}}}}$

${\displaystyle s_{2}=-({\frac {\beta -\rho _{o}}{\Lambda }})}$

よりゆっくりと変化する漸近挙動を表す時定数は安定原子炉周期と呼ばれる。^[3]