独立系支配グループ

ベルジュは、順序に関して基本的な境界を確立した${\displaystyle n}$および最大度${\displaystyle \Delta }$グラフの: ^{[ 7 ]}

$\left\lceil {\frac {n}{1+\Delta }}\right\rceil \leq i(G)\leq n-\Delta }$

孤立頂点のないグラフの場合：^{[ 8 ]}

${\displaystyle i(G)\leq n+2-2{\sqrt {n}}}$

そしてこの境界は厳密である。最小次数が少なくとも${\displaystyle \delta }$: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle i(G)\leq n+2\delta -2{\sqrt {\delta n}}}$

ファヴァロンの以前の推測を裏付けるものである。^{[ 8 ]}

爪のないグラフの場合：^{[ 10 ]}

${\displaystyle i(G)=\gamma (G)}$

より一般的には、${\displaystyle K_{1,k}}$-フリー（スターフリー）グラフ${\displaystyle k\geq 3}$: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle i(G)\leq (k-2)\gamma (G)-(k-3)}$

孤立頂点を持たない任意の二部グラフについて${\displaystyle n}$頂点: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle i(G)\leq n/2}$

木の場合、木が${\displaystyle n}$頂点と${\displaystyle \ell }$葉: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle i(G)\leq (n+\ell )/3}$

もし${\displaystyle G}$は${\displaystyle r}$-通常のグラフ${\displaystyle n}$孤立した頂点を持たない頂点の場合：^{[ 13 ]}

${\displaystyle i(G)\leq \alpha (G)\leq n/2}$

連結された立方体グラフの場合、${\displaystyle K_{3,3}}$: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle i(G)\leq 2n/5}$

境界は以下のように改善できると推測されている。${\displaystyle 3n/8}$次数が 10 を超えるすべての連結立方グラフに対して。^{[ 1 ]}

連結立方グラフにおける支配と独立支配の比率に関して、${\displaystyle K_{3,3}}$: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle i(G)/\gamma (G)\leq 4/3}$

上の任意の平面グラフに対して${\displaystyle n}$頂点: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle i(G)\leq 3n/4-2}$

直径2の平面グラフの場合、境界は改善できます。^{[ 16 ]}

${\displaystyle i(G)\leq \lceil n/3\rceil }$

任意のグラフに対して${\displaystyle G}$その折れ線グラフ${\displaystyle L(G)}$爪がなく、したがって最小最大独立集合である${\displaystyle L(G)}$また、最小支配集合でもある${\displaystyle L(G)}$独立したセット${\displaystyle L(G)}$のマッチングに対応します${\displaystyle G}$、そして圧倒的なセット${\displaystyle L(G)}$エッジ支配セットに対応します${\displaystyle G}$したがって、最小最大マッチングのサイズは、最小エッジ支配集合のサイズと同じになります。

最小値はより少ない集合で取られるため（独立支配集合のみが考慮されるため）、${\displaystyle \gamma (G)\leq i(G)}$すべてのグラフについて${\displaystyle G}$同様に、すべての極大独立集合は独立集合であるため、${\displaystyle i(G)\leq \alpha (G)}$、 どこ${\displaystyle \alpha (G)}$は独立数である。さらに、すべての極大独立集合は極小支配集合であるため、$\alpha (G)\leq \Gamma (G)$、 どこ$\displaystyle \Gamma (G)$は上側支配数（最小支配集合の最大サイズ）です。これにより、支配連鎖が得られます。^{[ 17 ]}

${\displaystyle \gamma (G)\leq i(G)\leq \alpha (G)\leq \Gamma (G).}$

不等式は厳密なものになり得る。グラフが存在する。${\displaystyle G}$そのために${\displaystyle \gamma (G)<i(G)}$例えば、${\displaystyle G}$頂点からなる二重星グラフとする${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{p},a,b,y_{1},\ldots ,y_{q}}$、 どこ${\displaystyle p,q>1}$の端${\displaystyle G}$は次のように定義されます。${\displaystyle x_{i}}$に隣接しています${\displaystyle a}$、${\displaystyle a}$に隣接しています${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle b}$それぞれに隣接しています$\displaystyle y_j}}$。 それから${\displaystyle \gamma (G)=2}$以来${\displaystyle \{a,b\}}$は最小支配集合です。${\displaystyle p\leq q}$、 それから${\displaystyle i(G)=p+1}$以来${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{p},b\}}$これは、最小の支配集合であり、かつ独立集合でもある（最小の最大独立集合である）。

しかし、境界$\displaystyle \gamma (G)\leq i(G)\leq \alpha (G)}$コロナに対して同時に鋭い${\displaystyle H\circ K_{1}}$任意のグラフ${\displaystyle H}$これは、${\displaystyle \gamma (G)=i(G)=\alpha (G)=|V(H)|}$[ ^{1 ]​}

コケインとマイナートは、どのような値のシーケンスが達成可能であるかを特徴づけた。^{[ 18 ]}シーケンス${\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{3},s_{4})}$整数の実現は${\displaystyle (\gamma (G),i(G),\alpha (G),\Gamma (G))}$あるグラフについて${\displaystyle G}$かつその場合に限り$1 ≤ s_1 ≤ s_2 ≤ s_3 ≤ s_4$、$s_1=1$暗示する$s2=1$、 そして$s3=1$暗示する$s4=1$。