ヘリングのパラドックス

ヘリングのパラドックスは、電磁気学の分野における、マクスウェル方程式全般、特にファラデーの電磁誘導の法則と磁束則に矛盾すると思われる物理実験について述べている。このテーマに関する研究で、カール・ヘリングは1908年に、ファラデーの法則（世紀の変わり目）の通常の記述は不完全であり、普遍的なものとなるためには修正が必要であると結論付けた。^[1] それ以来、ヘリングのパラドックスは、ファラデーの電磁誘導の法則の適用を示すために物理学の教育で繰り返し使用されており、^{[2] [3] [4] [5]}古典的電磁力学の理論の範囲内で完全に理解されていると考えられる。しかし、グラビンスキーは、入門書のほとんどの説明に問題があると批判している。ファラデーの法則が誤解されて混乱を招いたか、説明の必要性を回避するような参照フレームのみが選択されたかのいずれかである。^[6]以下では、ヘリングのパラドックスが最初にビデオで実験的に示され、グラビンスキーが示唆したのと同様の方法で、数学的に完全に一貫して注意深く扱われた場合、実験はファラデーの帰納法と矛盾しないことがわかります。最後に、ファラデーの法則を適用する際の典型的な落とし穴について説明します。

実験は右側のビデオで紹介されています。実験では、スロット付き鉄心が使用され、直流電流が供給されるコイルが鉄心とスロット内に一定の磁場を生成します。

2 つの異なる実験が並行して実行されます。

※下段では、通常の導体ループが鉄心のスロットに通されており、このスロットに磁場があるため導体ループの両端に電圧が発生し、それが増幅されて下のオシロスコープ画像に表示されます。

*上部には改良された導体ループが実現されています。導体ループは 1 点で分割され、分割された端には金属ホイールが取り付けられています。実験中、金属ホイールは磁気コアの周りを移動し、それぞれ互いに、およびコアに一定の接触圧力をかけます。磁気コアは導電性であるため、ホイール間、つまりループの分離された端の間には常に電気接続があります。最初の実験と他の条件は同じですが、オシロスコープには電圧が表示されません。

両方の実験で、磁束の同じ変化が同時に起こります。しかし、両方の実験で同じ誘導電圧が存在すると予想されるにもかかわらず、オシロスコープは一方の実験でのみ電圧を示します。この予期しない結果は、カール・ヘリングにちなんでヘリングのパラドックス^{[7] [8] [9] [10]}と呼ばれています。

実験の結果を理解する最も簡単な方法は、磁石の静止フレームからそれを見ることです。つまり、磁石は静止しており、オシロスコープとワイヤは動いています。この参照フレームでは、セットアップが静止している磁石と、磁石の周りの磁場のない空間で動いているワイヤで構成されているため、電圧が発生する理由はありません。ワイヤは磁石を少し傷つけます。

結論としては、

* 磁場はどこにも変化せず（ ）、したがって静止誘導により回路内の電荷に電流駆動力は発生しない。${\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\vec {0}}}$${\displaystyle {\vec {F}}=q\cdot {\vec {E}}}$${\displaystyle q}$

* 回路の電荷が動いている部分 ( ) は磁場 ( ) にさらされておらず、その逆も同様であるため、回路のどこにも電荷に対する磁力は作用しません。${\displaystyle v_{q}\neq 0}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle {\vec {F}}_{q}=q\cdot {\vec {v}}_{q}\times {\vec {B}}}$${\displaystyle q}$

磁石の静止フレームからの視点では理解に困難はないが、オシロスコープ^[11]とケーブルが静止し、導電性永久磁石が速度 で導体ループ内を移動する参照フレームから見るとそうではない。このような状況では、磁石 (磁石の前端) の動きによる静止誘導があり、それを超えて磁石は移動する導体でもある。磁石が一方では運動導体として、他方では磁場の根本原因として機能していることから、重要な疑問が浮かび上がる。磁石の磁場は磁石内の電荷にローレンツ力を及ぼすのか? この疑問に対する正しい答えは「はい、及ぼします」であり、これはファラデーの法則の適用に関する落とし穴の 1 つである。磁石と電荷の間に相対的な動きがないにもかかわらず、電荷にローレンツ力が及ぼされると想定するのは直感に反すると考える人もいる。^[12]${\displaystyle v}$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\neq 0}$

このパラドックスを解決するための重要なステップは、導電性の移動磁石の内部は無磁場ではなく、非ゼロの電界強度がそこにあることを認識することです。この電界強度を線に沿って積分すると、必要な誘導電圧が得られます。ただし、誘導電圧はオシロスコープ内ではなく、磁石内に局在します。 ${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {v}}\time {\vec {B}}}$${\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}$

この式は、回路のどの部分にも電流駆動力が働いていないことが明らかであるという考察から導き出されます。力が働いていないことは特に磁石の内部にも当てはまるため、磁石内部にある電荷に対する全電磁力は に等しくなります。電荷が磁石とともに「滑らずに」動くと仮定すると ( )、次も適用されます。ただし、最後の式は数学的には と等しくなります。 ${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {v}}\time {\vec {B}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\vec {F}}_{q}=q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}_{q}\times {\vec {B}})={ \vec {0}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\vec {v}}_{q}={\vec {v}}}$${\displaystyle q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}\time {\vec {B}})={\vec {0}}}$${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {v}}\time {\vec {B}}}$

最終的に、導体ループのさまざまなセクションで次の電界強度が得られます。

実験の結果がマクスウェル方程式と一致するかどうかを確認するために、まずマクスウェル・ファラデー方程式を積分表記で書き出します。

${\displaystyle \oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-\!\!\iint \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$

ここでは誘導面、 はその境界曲線で、それぞれ (定常) セクション、、で構成されるものと想定されます。 点は2 つのベクトル間のドット積を示します。 積分の方向 (時計回り) と表面の向き (画面に向かって) は、マクスウェル ファラデー方程式で想定されているように、互いに右手方向です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathrm {CD} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathrm {DA} }}}$${\displaystyle \cdot}$

表に示されている電界強度を考慮すると、マクスウェル・ファラデーの式の左辺は次のように表すことができます。

${\displaystyle \oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\underbrace {\int \limits _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=0}+\underbrace {\int \limits _{\mathrm {B} }^{\mathrm {C} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=-v\cdot B\cdot L}+\underbrace {\int \limits _{\mathrm {C} }^{\mathrm {D} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=0}+\underbrace {\int \limits _{\mathrm {D} }^{\mathrm {A} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=0}=-v\cdot B\cdot L}$

マイナス符号は、積分の方向が電界強度の方向（）と反対であるという事実による。 ${\displaystyle \angle (\mathrm {d} {\vec {s}},{\vec {E}})=180^{\circ }}$

式の右辺を計算するには、時間内に誘導面の磁場が長さと幅（）の帯状領域内でから（ ）に増加すると仮定します。したがって、式の右辺は ${\displaystyle \mathrm {d} t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \partial B=B}$${\displaystyle L}$${\displaystyle v\cdot \mathrm {d} t}$${\displaystyle \mathrm {d} A=L\cdot v\cdot \mathrm {d} t}$

${\displaystyle -\iint \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=-{\frac {B}{\mathrm {d} t}}\cdot L\cdot v\cdot \mathrm {d} t=-v\cdot B\cdot L}$

方程式の右辺と左辺は明らかに同一です。これは、ヘリングのパラドックスがマクスウェル・ファラデー方程式と完全に一致していることを示しています。

境界曲線の速度は物理的にまったく重要ではないことに注意してください。これは、誘導領域もその境界も存在しないマクスウェル-ファラデー方程式の微分表記で最も簡単に確認できます。数学的な観点からは、境界曲線は、電圧との関係を確立するためにマクスウェル-ファラデー方程式を積分表記に変換するために導入する必要があった単なる架空の線です。境界曲線は物理的に重要ではないため、実験の結果はこの曲線の速度に依存せず、境界曲線の速度が同じ場所にある導体ワイヤの速度に対応しているかどうかによって影響を受けません。簡単にするために、^[13]この記事では境界曲線の速度はゼロであると想定されています。実際に重要な動きは、（導電性の）磁石の動きです。これは磁石内の電界強度の値に影響を与えるため、マクスウェル-ファラデー方程式ではベクトル場の数値によって説明されます。 ${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}}$${\displaystyle {\vec {E}}}$

ヘリングのパラドックスや同様の問題を理解するのが難しいのは、通常、次の 3 つの誤解に基づいています。

（１）境界曲線の速度と境界曲線の位置に存在する導体の速度との区別がつかないこと、

（２）マクスウェル・ファラデー方程式の項が単なる想像上の境界線なのか導体なのかの不確実性（正しいのは：物理的性質を持たない境界曲線である）と${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle \partial A}$

（３）磁束密度の磁場中を動く理想的な導体では、電界強度がゼロではないという事実を無視する。${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}}$

これらの点を一貫して考慮すると、ヘリングのパラドックスは、どのような基準から見ても、ファラデーの誘導の法則 (マクスウェル ファラデー方程式によって与えられる) と完全に一致することがわかります。さらに、「ファインマン講義」の「フロー ルールの例外」の章で説明されている (思考) 実験を理解するのが難しいのも、同じ誤解によるものです。