HPPモデル

ハーディ・ポモー・パッツィス（HPP）モデルは、気体と液体のシミュレーションのための基本的な格子ガスオートマトンです。これは格子ボルツマン法の前身です。格子ガスオートマトンから、マクロなナビエ・ストークス方程式を導くことができます。^[1]格子ガスオートマトン法への関心は、格子ボルツマン法への関心の高まりにより、1990年代初頭に横ばいになりました。^[2]

このモデルは、1973年と1976年にJean Hardy、 Yves Pomeau、Olivier de Pazzisによって発表された論文で初めて紹介され、 ^[3] 3人の頭文字からこのモデルの名前が付けられました。このモデルは、気体と流体の両方の動きの単純なモデルとして使用できます。^[4]

このモデルでは、格子は 2 次元の正方格子の形をとり、粒子は共通のエッジを共有する 4 つの隣接する格子点のいずれかに移動できますが、粒子は斜めに移動できません。つまり、各格子点は 16 通りの相互作用のうち 1 つしか持つことができません。

• 粒子はグリッド ポイント上にのみ存在し、格子のエッジや表面上には存在しません。
• 各粒子には関連付けられた方向（1 つのグリッド ポイントから隣接する別のグリッド ポイントへ）があります。
• 各格子グリッド セルには、各方向に最大 1 つの粒子のみを含めることができます。つまり、合計で 0 から 4 個の粒子を含めることができます。

このモデルには以下のルールも適用されます。

1. 単一の粒子は衝突するまで一定の方向に移動します。
2. 正面衝突を経験した 2 つの粒子は垂直に偏向します。
3. 2 つの粒子は正面衝突ではなく、単に互いを通り抜けて同じ方向に進みます。
4. オプションとして、粒子が格子のエッジに衝突すると、跳ね返ることがあります。

HPP モデルは 2 段階の更新プロセスに従います。

このステップでは、上記のルール 2.、3.、4. がチェックされ、衝突が発生した場合に適用されます。これにより、正面衝突パーティクルの方向が変わり、通過衝突は変更されずに継続され、衝突しないパーティクルは単純に同じままになります。

2 番目のステップでは、各パーティクルが現在移動している方向に 1 つの格子ステップ移動します。この方向は、上記の衝突ステップによって変更されている可能性があります。

このモデルは無限の2次元正方格子上で動作し、4つの単位ベクトルが以下の数値に関連付けられている。[ ^5]${\displaystyle 1\mapsto \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right),2\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right),3\mapsto \left({\begin{array}{c}-1\\0\end{array}}\right),4\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\-1\end{array}}\right)}$

を許容される構成とします。関数は特定の速度を持つ粒子の存在をチェックし、関数はその逆を行います。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{X}}$

${\displaystyle \sigma _{X}(p,q,i)={\begin{cases}1{\text{ if the site }}(p,q){\text{ is occupied by a particle of }}X{\text{ of velocity }}i,\\0{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$^[5]

${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{X}(p,q,i)=1-\sigma _{X}(p,q,i)}$^[5]

構成の後継は、元の論文^[5]の式を使用して計算できます。${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sigma _{T(X)}(p,q,1)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,2)&=&\sigma _{X}(p,q-1,2)+\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,3)&=&\sigma _{X}(p+1,q,3)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,4)&=&\sigma _{X}(p,q+1,4)+\Psi _{X}(p,q)\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Psi _{X}(p,q)&=&\psi _{X}^{1}(p,q)-\psi _{X}^{2}(p,q)\\\psi _{X}^{1}(p,q)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)\sigma _{X}(p+1,q,3){\bar {\sigma }}_{X}(p,q-1,2){\bar {\sigma }}_{X}(p,q+1,4)\\\psi _{X}^{2}(p,q)&=&{\bar {\sigma }}_{X}(p-1,q,1){\bar {\sigma }}_{X}(p+1,q,3)\sigma _{X}(p,q-1,2)\sigma _{X}(p,q+1,4)\end{array}}}$$

このモデルには大きな欠陥があり、水平レーンと垂直レーンの両方で運動量が常に保存されます。衝突や移動によってモデルからエネルギーが除去されることはないため、モデルは永久に継続します。

HPPモデルは回転不変性を欠いており、モデルが非常に異方性を持つものとなっている。これは、例えば、HPPモデルによって生成される渦が正方形であることを意味する。^[6]

• Sauro Succi (2001)。格子ボルツマン方程式、流体力学とその先へ。Oxford Science Publications。ISBN 0-19-850398-9。（格子ガスセルオートマトンの第2章）
• ニール・ガーシェンフェルド (1998)。『数学モデリングの性質』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521570954。