ガーニー方程式

ガーニー方程式は、爆発物工学において爆発物が爆発したときに隣接する金属層やその他の材料を加速する速度を関連付けるために使用される一連の数式です。これは、軍用爆発物によって破片が放出される速度、成形爆薬がライナーを内側に加速する速度、および爆発物が2枚の金属板を押し付けて結合する爆発溶接などの他の計算を決定します。 ^[1]

この方程式は、1940年代にロナルド・ガーニー^[2]によって初めて開発され 、それ以来、大幅に拡張および追加されてきました。ガーニーの最初の論文では、固体の殻に囲まれた爆発物の塊である砲弾または爆弾の爆発状況を分析しました。他の研究者は、同様の分析方法を他の形状に拡張しました。ガーニーの方法に基づいて導出されたすべての方程式は、総称して「ガーニー方程式」と呼ばれています。

金属またはその他の固体材料の層に隣接する爆発物が爆発すると、その層は最初の爆発衝撃波と爆発ガス生成物の圧力の両方によって加速されます。ガーニーは、運動量とエネルギーの保存則に基づいて、金属殻と爆発ガスの間でエネルギーがどのように分配されるかをモデル化するシンプルで便利な式を開発しました。この式は、多くの場合、驚くほど正確です。

ガーニーが行った重要な単純化仮定は、爆発性のデトネーション生成ガスには線形速度勾配があるというものだった。爆縮など、この仮定が大きく破れる状況では、方程式の精度は低くなる。しかし、兵器で遭遇する最も一般的な状況（爆発物を包む砲弾）では、これは驚くほどうまく機能する。そのような場合、金属質量（M）と爆薬質量（C）の比率の広い範囲（0.1 < M/C < 10.0）にわたって、近似値は実験結果または詳細な数値結果の10%以内である。これは、単純化モデルの誤差を相殺するためである。デトネーションガスの希薄化波を無視すると、計算された速度が高くなりすぎる。加速層の次に密度が高いガスの実際の密度ではなく、初期のガス密度が一定であると仮定すると、値が低くなり、互いに打ち消し合う。結果として、ある側面についてより現実的な仮定を立てることでガーニーモデルの精度を向上させようとする試みは、実際には結果の精度を向上させない可能性がある。^{[3] [4]}

ガーニー方程式は次の量を関係づけます。

C - 爆薬の質量

M - 加速されたシェルまたは材料シート（通常は金属）の質量。シェルまたはシートは、フライヤーまたはフライヤー プレートと呼ばれることがよくあります。

VまたはV _m - 爆発後の加速飛行体の速度

N - 爆薬の反対側にあるタンパーシェルまたはシートの質量（存在する場合）

${\displaystyle E}$- 爆発物の質量あたりのエネルギーは運動エネルギーとして表れる

${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$- 特定の爆発物のガーニー定数。これは速度の単位（たとえば、ミリメートル/マイクロ秒）で表され、異なる爆発物によって生成される相対的な飛翔速度を比較します。

中空の爆薬が内部の質量を中心に向かって加速する爆縮システムの場合、計算ではさらに次の要素が考慮されます。

R _o - 爆薬の外側半径

R _i - 爆薬の内半径

簡単な近似式として、標準的な爆薬の場合、の物理的値は通常、爆発物の爆発速度の1/3に非常に近くなります。^[1] 典型的な軍用爆薬の場合、の値は、トリトナルの場合は2.32、PAX-29nの場合は3.16の範囲です。 ${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$${\displaystyle {\frac {D}{\sqrt {2E}}}}$

${\displaystyle {\frac {mm}{\mu s}}}$これはキロメートル毎秒に等しく、多くのアプリケーションでより馴染みのある単位です。

一般的に引用される値は、終端値と呼ばれるもので、これを測定するのに使用されるシリンダ膨張試験における加速度の限界値（膨張19～26 mm）である。より小さな膨張半径（5～7 mm）で測定される即時値もある。文献で明確にされていない場合は、通常、これが限界値である。 ^[5]${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$

ガーニー方程式は、爆発ガスの膨張の大部分においてシェルまたはシート状の材料が無傷のままであり、その上で作業を実行できると仮定した結果を示します。これは、いくつかの構成と材料では当てはまります。たとえば、爆発溶接では、薄いシート状の爆薬を使用して平らな金属板を均等に加速して衝突させますが、金属板は最初から最後まで固体のままです。ただし、材料、特に脆い材料が外側に加速される多くの構成では、膨張したシェルは伸張により破損します。シェルが破損すると、シェルの継続的な膨張と、破損点から材料に伝わる応力緩和波の複合効果により、通常は多数の小さな破片に砕けます。^[1]この現象により、爆発ガスが破片の周りを流れるか、破片を迂回するため、有効な推進力が低下します。

したがって、脆い、または極限ひずみが低い金属殻の場合、破片の速度は通常、ガーニーの公式によって予測される値の約 80% になります。

平らなシートの基本的なガーニー方程式では、シート材料の直径が大きいことを前提としています。

爆薬の直径が厚さよりも大幅に大きくない小型爆薬の場合、ガスとエネルギーが側面に失われるため、効果は低下します。^[1]

この損失は、実効爆薬量Cを実効値C _effまで減少させるものとして経験的にモデル化されており、実効値 C effは爆薬/飛翔体の境界を底とする 60° 円錐内に含まれる爆薬の体積です。

ベンハムの分析によると、爆発物の周囲に円筒形のタンパーを配置すると、側面からの損失が効果的に減少します。

1996年にヒルシュは、比較的小さな比率においてガーニー方程式が実際の物理的動作を誤って表現する 性能領域を説明しました。 ^[6]${\displaystyle {\frac {M}{C}}}$

基本的なガーニー方程式が異常値を生成する値の範囲は、次のように記述されます (平坦な非対称およびオープンフェイスのサンドイッチ構成の場合)。

${\displaystyle {\frac {M}{C}}\left[\left(4{\frac {N}{C}}\right)+1\right]<{\frac {1}{2}}}$

オープンフェイスのサンドイッチ構成（下記参照）の場合、これは の値が 0.5 以下であることに相当します。タンパー質量が爆薬質量（ ）に等しいサンドイッチの場合、フライヤープレート質量が爆薬質量の 0.1 以下になると異常となります。 ${\displaystyle {\frac {M}{C}}}$${\displaystyle {\frac {N}{C}}\geq 1.0}$

このエラーは、爆発性生成物ガスに線形速度勾配があるという、ガーニー方程式で使用される基本的な単純化仮定の 1 つを構成が超えることによるものです。異常領域外の値の場合、これは適切な仮定です。ヒルシュは、フライヤー プレートとガス間の総エネルギー分配が 1 を超えると仮定が崩れ、結果としてガーニー方程式の精度が低下することを実証しました。 ${\displaystyle {\frac {M}{C}}}$

異常領域における複雑な要因には、反応生成物の熱容量比、γを含む爆発生成物の詳細なガス挙動が含まれます。

現代の爆発物工学では、この問題を回避する計算解析手法が利用されています。

最も単純なケースでは、長い中空の金属シリンダーが完全に爆薬で満たされています。シリンダーの壁は次のように外側に加速されます。^[1]

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {1}{2}}\right)^{-1/2}}$

この構成は、砲弾、爆弾、およびほとんどのミサイル弾頭を含むほとんどの軍用爆発装置の一次近似です。これらは主に円筒形の爆薬を使用します。

中心で発生した球状の電荷は、次のように周囲のフライヤーシェルを加速します。^[1]

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {3}{5}}\right)^{-1/2}}$

このモデルは、軍用手榴弾や一部のクラスター爆弾の子弾の挙動を近似します。

両側に2枚の同じ重い平らなフライヤープレートが付いた平らな爆薬層は、次のようにプレートを加速します。^[1]

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left(2{\frac {M}{C}}+{\frac {1}{3}}\right)^{-1/2}}$

対称サンドイッチは、主力戦車などの重装甲車両の一部の反応装甲アプリケーションで使用されます。内側に発射されるフライヤーは車両の主装甲に衝突し、装甲が十分に厚くない場合は損傷を引き起こすため、これらは重装甲車両でのみ使用できます。軽量車両はオープンフェイス サンドイッチ反応装甲を使用します (以下を参照)。ただし、対称サンドイッチのデュアル ムービング プレート方式は、最高の装甲保護を提供します。

異なる質量の2枚の平らなフライヤープレートと平らな爆薬層は、次のようにプレートを加速します。^{[1] [7] [8]}

させて： ${\displaystyle A={\frac {1+2{\frac {M}{C}}}{1+2{\frac {N}{C}}}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {1+A^{3}}{3(1+A)}}+A^{2}{\frac {N}{C}}+{\frac {M}{C}}\right)^{-1/2}}$

実質的に無限の厚さの支持面上に平らな爆薬層を置き、その上にフライヤープレートを載せると、フライヤープレートは次のように加速される。^[1]

${\displaystyle {\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {1}{3}}\right)^{-1/2}}$

片側に爆発板が付いた平らな一枚の爆薬シートは「オープンフェイスサンドイッチ」と呼ばれ、次のように説明される。^[1]

以来：

${\displaystyle N=0}$

それから：

${\displaystyle A=1+2\left({\frac {M}{C}}\right)}$

これにより、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left[{\frac {1+\left(1+2{\frac {M}{C}}\right)^{3}}{6\left(1+{\frac {M}{C}}\right)}}+{\frac {M}{C}}\right]^{-1/2}}$

オープンフェイスサンドイッチ構成は、爆発溶接やその他の金属成形操作で使用されます。

これは軽装甲車両の反応装甲でよく使用される構成でもあり、車両の主装甲板に向かって開いた面を下に向けています。これにより、発砲時に反応装甲ユニットが車両構造に与えるダメージを最小限に抑えます。

中空の円筒状の爆薬は、その表面の周囲に均一に点火され、外側のタンパーと内側の中空の殻を備え、外側ではなく内側に加速される（「爆縮」される）ため、次の式で説明されます。^[9]

ガーニー方程式の他の形式とは異なり、爆縮形式 (円筒形および球形) では、爆薬の起爆殻の制御体積の形状と、爆轟生成ガス内の運動量とエネルギーの分布を考慮する必要があります。円筒形の爆縮の場合、関係する形状は、爆薬の内半径R _iと外半径R _oを含むように簡略化されます。

${\displaystyle \beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}}$

${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left({\frac {M}{C}}+a\left({\frac {M}{C}}\right)\left(\beta -1\right)+{\frac {\beta +2}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}{\left({\frac {N}{C}}+{\frac {2\beta +1}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=}$ ${\displaystyle \left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}}+{\frac {\beta +3}{6\left(\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\frac {3\beta +1}{6\left(\beta +1\right)}}\right)-1/3\right\}\right]^{-1/2}}$

内破するシリンダーの方程式は、非対称サンドイッチの一般的な方程式と基本的に似ていますが、方程式が示すように、関係する形状（爆薬の中空シェル内の容積と面積、および内外に押し出される爆発生成ガスの膨張シェル）はより複雑です。

定数は実験的および解析的に 1.0 と決定されました。 ${\displaystyle a}$

特殊なケースとしては、中空の球状の爆薬が表面の周囲に均一に点火され、外側にタンパーと内側に中空の殻があり、外側ではなく内側に加速される（「爆縮」される）場合があり、次のように説明される：^[9]

${\displaystyle \beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}}$

${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left[{\frac {M}{C}}+\left(a{\frac {M}{C}}\right)\left(\beta ^{2}-1\right)+{\frac {\beta ^{2}+2\beta +3}{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right]}{\left({\frac {N}{C}}+{\frac {3\beta ^{2}+2\beta +1}{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=}$ ${\displaystyle \left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}}+{\frac {\beta ^{2}+3\beta +6}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\frac {6\beta ^{2}+3\beta +1}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)-{\frac {3\beta ^{2}+4\beta +3}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right\}\right]^{-1/2}}$

球面ガーニー方程式は初期の核兵器設計に応用されています。

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