グループ化されたディリクレ分布

統計学において、グループ化ディリクレ分布（GDD）は、ディリクレ分布の多変量一般化です。 これは、Ngらによって2008年に初めて記述されました。^{[ 1 ]}グループ化ディリクレ分布は、いくつかの観測値が他の「明確な」カテゴリのいずれかに分類される可能性があるカテゴリデータの分析において生じます。たとえば、2つの異なる条件下での症例と対照からなるデータセットがあるとします。完全なデータの場合、疾患状態のクロス分類は、セル確率を持つ2（症例/対照）×（条件/非条件）の表を形成します。

ただし、データに、例​​えば、対照群または症例群であることがわかっている非回答者が含まれる場合、疾患状態のクロス分類は2×3の表を形成します。最後の列の確率は、各行の最初の2つの列の確率の合計です。

GDDは、このような凝集条件下での細胞確率の完全な推定を可能にする。^{[ 1 ]}

閉じた単体集合を考える${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots x_{n}\right)\left|x_{i}\geq 0,i=1,\cdots ,n,\sum _{i=1}^{n}x_{n}=1\right.\right\}}$そして ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {T}}_{n}}$執筆${\displaystyle \mathbf {x} _{-n}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n-1}\right)}$初めて${\displaystyle n-1}$メンバーの要素${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}}$分布${\displaystyle \mathbf {x} }$2 つのパーティションの密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {GD} _{n,2,s}\left(\left.\mathbf {x} _{-n}\right|\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right)={\frac {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}-1}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{s}x_{i}\right)^{b_{1}}\cdot \left(\sum _{i=s+1}^{n}x_{i}\right)^{b_{2}}}{\operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{1},\ldots ,a_{s}\right)\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{s+1},\ldots ,a_{n}\right)\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(b_{1}+\sum _{i=1}^{s}a_{i},b_{2}+\sum _{i=s+1}^{n}a_{i}\right)}}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } \left(\mathbf {a} \right)}$は多変量ベータ関数です。

Ngら^{[ 1 ]}は、密度がm分割されたディリクレ分布を定義した。${\displaystyle \mathbf {x} _{-n}}$によって与えられた

${\displaystyle \operatorname {GD} _{n,m,\mathbf {s} }\left(\left.\mathbf {x} _{-n}\right|\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right)=c_{m}^{-1}\cdot \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}-1}\right)\cdot \prod _{j=1}^{m}\left(\sum _{k=s_{j-1}+1}^{s_{j}}x_{k}\right)^{b_{j}}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {s} =\left(s_{1},\ldots ,s_{m}\right)}$は整数のベクトルで、${\displaystyle 0=s_{0}<s_{1}\leqslant \cdots \leqslant s_{m}=n}$正規化定数は次のように与えられる。

${\displaystyle c_{m}=\left\{\prod _{j=1}^{m}\operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{s_{j-1}+1},\ldots ,a_{s_{j}}\right)\right\}\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(b_{1}+\sum _{k=1}^{s_{1}}a_{k},\ldots ,b_{m}+\sum _{k=s_{m-1}+1}^{s_{m}}a_{k}\right)}$

著者らは、これらの分布を医学分野における3つの異なる応用例に活用した。