G 測定

数学において、G測度は、測定可能な関数の列の弱∗極限として表される測度である。典型的な例はリース積である。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G=\left(G_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle G_{n}(t)=\prod _{k=1}^{n}\left(1+r\cos(2\pi m^{k}t)\right)}$

ここで。この積の弱∗極限は、 に対して次の意味で円 上の測度である。 ${\displaystyle -1<r<1,m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle f\in C(\mathbb {T} )}$

${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int f(t)\prod _{k=1}^{n}\left(1+r\cos(2\pi m^{k}t)\right)\,dt=\lim _{n\to \infty }\int f(t)G_{n}(t)\,dt}$

ここで はハール測度を表します。 ${\displaystyle dt}$

リース積がシフト演算子の下で強い混合不変測度とみなせることを最初に示したのはキーン^[1]であった。これは後にブラウンとドゥーリー^[2]によって次の形式のリース積に 一般化された。 ${\displaystyle S(x)=mx\,{\bmod {\,}}1}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+r_{k}\cos(2\pi m_{1}m_{2}\cdots m_{k}t)\right)}$

どこ。 ${\displaystyle -1<r_{k}<1,m_{k}\in \mathbb {N} ,m_{k}\geq 3}$

• 数学百科事典のリース積