フーリエ分割

フーリエ除算または交差除算は、除数が 2 桁を超える場合にプロセスを簡略化する、鉛筆と紙を使った除算方法です。これはジョセフ・フーリエによって発明されました。

以下の説明では、数字が 2 桁の部分に分割され、カンマで区切られていることを前提としています。たとえば、3456 は 34,56 になります。一般に、x,y はx ⋅100 + yを表し、x,y,z はx ⋅10000 +  y ⋅100 +  zなどを表します。

c をaで割って結果b を得たいとします。(つまりa  ×  b = cです。)

${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}\dots }{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\dots }}=b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\dots =b}$

₁には先頭にゼロが付かないことに注意してください。1 は 2 桁の数字として単独で表される必要があります。

次の式を使用して、連続する項b ₁、b ₂などを見つけることができます。

${\displaystyle b_{1}={\frac {c_{1},c_{2}}{a_{1}}}{\mbox{ 残り }}r_{1}}$

${\displaystyle b_{2}={\frac {r_{1},c_{3}-b_{1}\times a_{2}}{a_{1}}}{\mbox{ 残りは }}r_{2}}$

${\displaystyle b_{3}={\frac {r_{2},c_{4}-b_{2}\times a_{2}-b_{1}\times a_{3}}{a_{1}}}{\mbox{ 残りは }}r_{3}}$

${\displaystyle b_{4}={\frac {r_{3},c_{5}-b_{3}\times a_{2}-b_{2}\times a_{3}-b_{1}\times a_{4}}{a_{1}}}{\mbox{ 残り }}r_{4}\dots }$

毎回、分子に項を追加して、項の数が と同じになるまで続けます。それ以降は項の数は一定のままなので、難易度は上がりません。必要な精度に達したら、推定値を使用して小数点を配置します。

b項の 1 つが負になる場合がよくあります。たとえば、93,−12 は 9288 を表しますが、−16,32 は −1600 + 32 または −1568 を表します。(注: 45,−16,32 は 448432 を表します。) 剰余の符号にも注意が必要です。

一般的な用語は

${\displaystyle b_{i}={\frac {r_{i-1},c_{i+1}-\textstyle \sum _{j=2}^{i}b_{i-j+1}\times a_{j}}{a_{1}}}{\mbox{ 残りは }}r_{i}}$

b項の 1 つ以上が 2 桁を超える場合、最終的な商の値b は、単に数字のペアを連結するだけでは構成できません。代わりに、各項を100 倍し、次の項を加算 (または負の場合は減算) する必要があります。この結果に 100 を乗じ、次の項を加算または減算し、すべての項がなくなるまでこれを繰り返します。言い換えると、b項の部分和を構成します。 ${\displaystyle b_{1},}$

${\displaystyle B_{1}=b_{1}}$

${\displaystyle B_{i}=100b_{i-1}+b_{i}}$

最後の部分和がbの値になります。

π ≈ 3.14159の逆数を求めます。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {10,00,00\dots }{31,41,59\dots }}=b_{1},b_{2},b_{3}\dots =b}$

${\displaystyle b_{1}={\frac {10,00}{31}}=32{\mbox{ 残り }}8}$

${\displaystyle b_{2}={\frac {8,00-32\times 41}{31}}={\frac {-512}{31}}=-17{\mbox{ 残り }}15}$

${\displaystyle b_{3}={\frac {15,00+17\times 41-32\times 59}{31}}={\frac {309}{31}}=10{\mbox{ 残りは }}-1.}$

結果は 32,-17,10 または 31,83,10 となり、0.318310 になります。

• ロナルド・W・ドエルフラー著『デッドレコニング：計器なしの計算』ガルフ出版、1993年。