アールスウェーデ・デイキン不等式

アールスウェーデ・デイキン不等式(Ahlswede & Daykin 1978) は、 4 つの関数定理(または不等式) としても知られ、有限分配格子上の 4 つの関数に対する相関 型不等式です。これは、統計力学と確率的組合せ論(特にランダム グラフと確率的方法) における基本的なツールです。

この不等式は、有限分配格子上の非負関数が ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}}$

${\displaystyle f_{1}(x)f_{2}(y)\leq f_{3}(x\vee y)f_{4}(x\wedge y)}$

格子内の すべてのx、yに対して、

${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(Y)\leq f_{3}(X\vee Y)f_{4}(X\wedge Y)}$

格子の すべての部分集合X、Yに対して、ここで

${\displaystyle f(X)=\sum _{x\in X}f(x)}$

そして

${\displaystyle X\vee Y=\{x\vee y\mid x\in X,y\in Y\}}$

${\displaystyle X\wedge Y=\{x\wedge y\mid x\in X,y\in Y\}.}$

アルスウェーデ・デイキン不等式は、ホーリー不等式とFKG 不等式の両方の簡単な証明に使用できます。また、XYZ 不等式も示します。

証明については、元の論文 (Ahlswede & Daykin 1978) または (Alon & Spencer 2000) を参照してください。

「4 つの関数の定理」は、(Aharoni & Keich 1996) と (Rinott & Saks 1991) で 独立に 2 k関数に一般化されました。

• アルスウェーデ、ルドルフ; デイキン、デイビッド E. (1978)、「2 つの集合族、それらの和集合および積集合の重みに関する不等式」、確率論および関連分野、43 (3): 183–185、CiteSeerX  10.1.1.380.8629、doi :10.1007/BF00536201、ISSN  0178-8051、MR  0491189、S2CID  120659862
• アロン、N.、スペンサー、JH (2000)、確率的手法。第 2 版。ポール・エルデシュの生涯と業績に関する付録付き。、ワイリー・インターサイエンス、ニューヨーク、ISBN 978-0-471-37046-8、MR  1885388
• フィッシュバーン、PC (2001) [1994]、「アールスウェーデ・デイキン不等式」、数学百科事典、EMS プレス
• アハロニ、ロン。 Keich、Uri (1996)、「Ahlswede Daykin Inequality の一般化」、離散数学、152 (1–3): 1–12、doi :10.1016/0012-365X(94)00294-S
• リノット、ヨセフ; サックス、マイケル (1991)、「相関不等式とパーマネントの推測」、コンビナトリカ、13 (3): 269–277、doi :10.1007/BF01202353、S2CID  206791629