アイレンベルクの不平等

アイレンベルクの不等式（共面積不等式とも呼ばれる）は、距離空間間のリプシッツ連続関数に関する数学的な不等式である。非公式には、関数のリプシッツ定数と定義域の測度を用いて、リプシッツ写像のファイバーの平均サイズの上限を与えるものである。

アイレンベルクの不等式は、幾何学的測度論や多様体論に応用されている。また、共面積公式の証明における重要な要素でもある。

ƒ : X → Y を距離空間間のリプシッツ連続関数とし、 そのリプシッツ定数を Lip ƒとします。s と tを非負の実数とします。このとき、アイレンベルクの不等式は次のようになります。     

${\displaystyle \int _{Y}^{*}H^{s}(f^{-1}(y)\cap A)\,dH^{t}(y)\leq {\frac {v_{s}v_{t}}{v_{s+t}}}({\text{Lip }}f)^{t}H^{s+t}(A),}$

任意のA  ⊂ Xに対して。 

• アスタリスクは上側の 積分を表します。
• v _tは普遍定数です。t =nの場合、v _{t は}R ⁿ内の単位球の体積に等しくなります。 
• H ^tはt次元ハウスドルフ測度である。

上積分の使用が必要なのは、一般に関数が${\displaystyle \ y\mapsto H^{s}(A\cap f^{-1}(y))}$H ^tが測定 できない可能性がある。

この不等式は、関数が距離空間内の固定点までの距離を表す場合について、1938年にアイレンベルクによって初めて証明された。その後、1943年にアイレンベルクとハロルドによって、距離空間上の任意の実数値リプシッツ関数の場合に一般化された。

上記の形式の不等式は、1954 年にフェデラーによって証明されましたが、彼はそれを証明するために、彼自身が不要だと推測した追加の仮定の下でしか証明できませんでした。数年後、デイヴィスはハウスドルフ内容に関するいくつかの深遠な結果を証明し、この予想は結果として証明されました。しかし最近、デイヴィスの結果とは独立した新しい証明も発見されました。^{[ 1 ]}

多くの文献では、対象空間がユークリッド空間または多様体である場合に不等式が証明されています。 ^{[ 2 ]}これは、等径不等式が（多様体の場合は局所的に）利用可能であり、簡単な証明が可能になるためです。等径不等式は、一般的な距離空間では利用できません。一般的な場合のアイレンベルクの不等式の証明は非常に複雑で、いわゆる重み付き積分の概念が必要です。^{[ 3 ] [ 1 ]}