亀裂成長方程式

亀裂成長方程式は、周期的な荷重によって成長する疲労亀裂のサイズを計算するために使用されます。疲労亀裂の成長は、特に航空機の場合、壊滅的な破損につながる可能性があります。成長する疲労亀裂が多数相互に作用すると、広範囲の疲労損傷として知られています。亀裂成長方程式は、亀裂のサイズを予測することにより、設計段階と運用中の両方で安全性を確保するために使用できます。重要な構造では、荷重を記録して亀裂のサイズを予測し、亀裂が破損する前に保守または廃棄を確実に行うことができます。疲労寿命は亀裂開始欠陥のサイズと形状に敏感であり、想定される荷重とコンポーネントが受ける実際の荷重との間の変動性があるため、安全係数を使用して予測疲労寿命を実用疲労寿命に短縮します。

疲労寿命は、発生期間と亀裂成長期間に分けられます。^{[1]亀裂成長方程式は、与えられた初期欠陥から亀裂サイズを予測するために使用され、通常は定振幅}疲労試験から得られた実験データに基づいています。

荷重サイクルの応力集中係数範囲（ ）に基づく最も古い亀裂成長方程式の一つは、パリス・エルドアン方程式^{[2]である。}${\displaystyle \デルタK}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K)^{m}}$

ここで、は亀裂長さ、は単一荷重サイクルにおける疲労亀裂成長です。応力比、過負荷、荷重履歴効果など、亀裂成長速度に影響を与える要因を組み込むために、パリス・エルドアン方程式に似たさまざまな亀裂成長方程式が開発されています。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle {\rm {d}}a/{\rm {d}}N}$${\displaystyle N}$

応力強度範囲は、サイクルの最大応力強度と最小応力強度から計算できます。

${\displaystyle \Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}}$

遠距離場の応力と亀裂先端の応力強度を関連付けるために、幾何学的係数が使用され ます。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}}$。

さまざまな構成のジオメトリ係数を含む標準的な参考文献があります。^{[3] [4] [5]}

予測精度を向上させ、さまざまな効果を組み込むために、長年にわたって多くの亀裂伝播方程式が提案されてきました。疲労亀裂伝播挙動に関するHead、^[6]、 FrostとDugdale、^[7]、 McEvilyとIllg、^[8]、Liu ^[9]の研究がこのトピックの基礎を築きました。これらの亀裂伝播方程式の一般的な形式は次のように表すことができます。

${\displaystyle {da \over dN}=f(\Delta \sigma ,a,C_{i}),}$

ここで、亀裂の長さは、適用される荷重のサイクル数は、応力範囲は、材料パラメータは で表されます。対称構成の場合、対称線からの亀裂の長さは と定義され、亀裂の合計長さの半分になります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \デルタ\sigma}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2a}$

形式の亀裂成長方程式は、荷重サイクル全体にわたって連続的に亀裂成長のプロセスをモデル化していないため、真の微分方程式ではありません。そのため、サイクル内の最大値と最小値を識別するには、一般的に使用されているレインフローカウントアルゴリズムなどの個別のサイクルカウントまたは識別アルゴリズムが必要です。レインフローカウントは応力/ひずみ寿命法用に開発されましたが、亀裂成長にも有効であることが示されています。^[10]少数の真の微分疲労亀裂成長方程式も開発されています。^{[11] [12]}${\displaystyle da/dN}$

図1は、交番応力強度または亀裂先端駆動力の関数として、対数スケールでプロットされた亀裂成長速度の典型的なプロットを示しています。交番応力強度に対する亀裂成長速度の挙動は、さまざまな領域で次のように説明できます（図1を参照）。 ${\displaystyle \デルタK}$

領域A：成長速度が低い場合、微細構造、平均応力（または荷重比）、環境の変化が亀裂伝播速度に大きな影響を与えます。低荷重比では、成長速度は微細構造に最も敏感であり、低強度材料では荷重比に最も敏感であることが観察されています。^[13]

領域 B:成長速度が中程度の場合、微細構造、平均応力 (または荷重比)、厚さ、環境の変化は、亀裂伝播速度に大きな影響を与えません。

状態 C:成長速度が高い場合、亀裂の伝播は微細構造、平均応力 (または荷重比)、および厚さの変化に非常に敏感です。環境の影響は比較的ほとんどありません。

応力比が高いサイクルでは、亀裂の成長速度が速くなります。^[14]この効果は、多くの場合、亀裂面がゼロ以上の荷重で互いに接触したままになるという観察を説明する亀裂閉鎖概念を使用して説明されます。これにより、有効応力集中係数の範囲と疲労亀裂の成長速度が減少します。^[15]${\displaystyle R=K_{\text{min}}}/{K_{\text{max}}\equiv P_{\text{min}}/{P_{\text{max}}}}$

方程式は単一サイクルの成長率を与えますが、荷重が一定振幅でない場合、荷重の変化は成長率の一時的な増加または減少につながる可能性があります。これらのケースのいくつかに対処するために追加の方程式が開発されました。荷重シーケンスで過負荷が発生すると、成長率は遅くなります。これらの荷重は、成長率を遅らせる可能性のある塑性領域を生成します。過負荷領域を亀裂が成長する間に発生する遅延をモデル化する2つの注目すべき方程式は次のとおりです。^[16]${\displaystyle da/dN}$

ウィーラーモデル（1972）

${\displaystyle \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}}$と${\displaystyle \beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}}$

ここで、は過負荷後に発生する i 番目のサイクルに対応する塑性領域であり、は過負荷時の塑性領域の範囲と亀裂との間の距離です。 ${\displaystyle r_{\text{pi}}}$${\displaystyle r_{\text{max}}}$

ウィレンボルグモデル

閾値付近の亀裂成長速度を予測するために、以下の関係式が使用されている^[17]

${\displaystyle {da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.}$

中間領域における亀裂成長速度を予測するために、パリ・エルドアン方程式が使用される^[2]

${\displaystyle {da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.}$

1967年に、フォルマンは、応力比と破壊靭性に近づくにつれて増加する成長率を説明するために、次の関係式を提案しました ^[18]${\displaystyle K_{\text{c}}}$

${\displaystyle {da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}}$

McEvilyとGroeger ^[19]は、高い値と低い値の両方の影響を考慮した次のべき乗法則関係を提案した。${\displaystyle \デルタK}$

${\displaystyle {da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}}$。

NASGRO方程式は、亀裂成長プログラムAFGROW、FASTRAN、NASGROソフトウェアで使用されています。^[20]これは、閾値付近での成長率の低下と破壊靭性に近づくにつれて増加する成長率をカバーする一般的な方程式であり、応力比を含めることで平均応力の影響も考慮に入れています。NASGRO方程式は ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$${\displaystyle K_{\text{crit}}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}}$

ここで、、、、、、は方程式 の係数です。${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$${\displaystyle K_{\text{crit}}}$

1967年、マクリントックは、周期的な亀裂先端開口変位 に基づいて亀裂成長の上限の式を開発した^[21]${\displaystyle \Delta {\text{CTOD}}}$

${\displaystyle {da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E'}}}$

ここで、 は流動応力、はヤング率、は一般に 0.1～0.5 の範囲の定数です。 ${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle E'}$${\displaystyle \beta }$

ストレス比効果を説明するために、ウォーカーはパリス・エルドアン方程式の修正形を提案した^[22]

${\displaystyle {da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}}$

ここで、は応力比が疲労き裂成長速度に与える影響を表す材料パラメータです。通常、は約 の値を取りますが、 の間で変化することがあります。一般に、を考慮すると、荷重サイクルの圧縮部分はき裂成長に影響を与えないと想定されます。これは、次の式を与えるものです。これは、き裂がゼロ荷重で閉じ、圧縮荷重下ではき裂のように動作しないと考えることで物理的に説明できます。Man-Ten鋼のような非常に延性の高い材料では、 に従って圧縮荷重がき裂成長に寄与します。^[23]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 0.5}$${\displaystyle 0.3-1.0}$${\displaystyle {\big (}R<0{\big )}}$${\displaystyle \gamma =0,}$${\displaystyle {\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}.}$${\displaystyle \gamma =0.22}$

エルバーはパリス・エルドアン方程式を修正し、接触が起こる開口応力強度レベルを導入して亀裂の閉鎖を考慮した。このレベル以下では亀裂先端の動きはなく、したがって亀裂の成長もない。この効果は、応力比効果と短い亀裂で観察される成長率の増加を説明するために使用されてきた。エルバーの方程式は^[16]${\displaystyle K_{\text{op}}}$

${\displaystyle \Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}}$

延性材料と脆性材料における疲労き裂成長速度の一般的な形は^[21]で与えられる。

${\displaystyle {da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},}$

ここで、およびは材料パラメータです。金属、セラミックス、金属間化合物における異なる亀裂進行および亀裂先端遮蔽機構に基づき、金属の疲労亀裂成長速度は項に大きく依存し、セラミックスでは項に大きく依存し、金属間化合物では項と項にほぼ同様に依存していることが観察されています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Delta K}$${\displaystyle K_{\text{max}}}$${\displaystyle \Delta K}$${\displaystyle K_{\text{max}}}$

Nasgro、^[24] AFGROW、Fastranなど、亀裂成長方程式を実装したコンピュータプログラムは数多くあります。さらに、部品の寿命全体にわたる破損の確率を計算する、亀裂成長に対する確率的アプローチを実装したプログラムもあります。^{[25] [26]}

亀裂成長プログラムは、亀裂が初期の欠陥サイズから材料の破壊靭性を超えて破損するまで亀裂を成長させます。破壊靭性は境界条件に依存するため、破壊靭性は、半円形の表面亀裂の平面ひずみ条件から貫通亀裂の平面応力条件に変化することがあります。平面応力条件の破壊靭性は、通常、平面ひずみ条件の破壊靭性の 2 倍です。ただし、亀裂の寿命の終わり近くでは亀裂の成長速度が速いため、破壊靭性の変化によってコンポーネントの寿命が大幅に変わることはありません。

亀裂成長プログラムでは通常、次の選択肢が提供されます。

• サイクルの極値を抽出するサイクルカウント法
• 亀裂の形状と適用される荷重を選択する形状要因
• 亀裂成長方程式
• 加速/減速モデル
• 降伏強度や破壊靭性などの材料特性

応力拡大係数は次のように表される。

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}},}$

ここで、は亀裂面に対して垂直方向に試験片に作用する均一な引張応力、は亀裂長さ、は試験片の形状に依存する無次元パラメータである。交番応力強度は ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&={\begin{cases}\beta (\sigma _{\text{max}}-\sigma _{\text{min}}){\sqrt {\pi a}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}},\qquad R\geq 0\\\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}},\qquad R<0\end{cases}},\end{aligned}}}$

ここで、周期的応力振幅の範囲です。 ${\displaystyle \Delta \sigma }$

初期亀裂サイズを と仮定すると、試験片が破損する前の臨界亀裂サイズは次のよう に計算できる。${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{c}}$${\displaystyle {\big (}K=K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}{\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Ic}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a_{c}}},\\\Rightarrow a_{c}&={\frac {1}{\pi }}{\bigg (}{\frac {K_{\text{Ic}}}{\beta \sigma _{\text{max}}}}{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

上記の方程式は本質的に暗黙的なものであり、必要に応じて数値的に解くことができます。 ${\displaystyle a_{c}}$

亀裂の閉鎖は亀裂成長速度にほとんど影響を与えない^[27]ため、パリス・エルドアン方程式は、試験片が臨界亀裂サイズに達する前の疲労寿命を計算するために使用できる。 ${\displaystyle R\geq 0.7,}$${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C(\Delta K)^{m}=C{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {1}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

図2に示すように、グリフィス・アーウィンの亀裂成長モデル、または無限シートの長さの中心亀裂の場合、となり、亀裂長さに依存しません。また、 は亀裂長さに依存しないと考えることができます。上記の積分を仮定すると、次のように簡略化されます。 ${\displaystyle 2a}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta ={\text{constant}},}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{({\sqrt {a}})^{m}}},}$

上記の式をおよび の場合について積分すると、負荷サイクルの総数は次のように表される。 ${\displaystyle m\neq 2}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle N_{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{f}&={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}{\Bigg [}{\frac {1}{(a_{0})^{\frac {m-2}{2}}}}-{\frac {1}{(a_{c})^{\frac {m-2}{2}}}}{\Bigg ]},\qquad m\neq 2,\\N_{f}&={\frac {1}{\pi C(\beta \Delta \sigma )^{2}}}\ln {\frac {a_{c}}{a_{0}}},\qquad m=2.\end{aligned}}}$

さて、臨界亀裂サイズが初期亀裂サイズに比べて非常に大きい場合、 ${\displaystyle m>2}$${\displaystyle {\big (}a_{c}>>a_{0}{\big )}}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma \beta )^{m}}}(a_{0})^{\frac {2-m}{2}}.}$

破断までの全荷重サイクル数に関する上記の解析式は、を仮定して得られます。 がシングルエッジノッチ張力 (SENT)、センタークラック張力 (CCT) ジオメトリなどの亀裂サイズに依存するケースでは、数値積分を使用して を計算できます。 ${\displaystyle {\big (}N_{f}{\big )}}$${\displaystyle Y={\text{constant}}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle N_{f}}$

亀裂閉鎖現象は亀裂成長速度に影響を及ぼし、ウォーカー方程式を適用して、試験片が臨界亀裂サイズに達する前の疲労寿命を計算することができる。 ${\displaystyle R<0.7,}$${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}={\frac {C}{(1-R)^{m(1-\gamma )}}}{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {(1-R)^{m(1-\gamma )}}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

この方式は、 が亀裂サイズ に依存する場合に便利です。初期の亀裂サイズは とみなされます。現在の亀裂サイズでの応力拡大係数は、最大印加応力を使用して次のように計算されます 。${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{max}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$
が破壊靭性より小さい場合、亀裂は臨界サイズに達しておらず、現在の亀裂サイズでシミュレーションが続行され、交番応力強度が次のように計算されます。${\displaystyle K_{\text{max}}}$${\displaystyle K_{\text{Ic}}}$${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle \Delta K=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.}$

ここで、パリス・エルドアン方程式に応力拡大係数を代入すると、亀裂サイズの増加は次のように計算される。 ${\displaystyle \Delta a}$

${\displaystyle \Delta a=C(\Delta K)^{m}\Delta N,}$

ここでサイクルステップサイズは、新しい亀裂サイズは ${\displaystyle \Delta N}$

${\displaystyle a_{i+1}=a_{i}+\Delta a,}$

ここで、インデックスは現在の反復ステップを指します。新しい亀裂サイズは、次の反復で最大応力時の応力強度を計算するために使用されます。この反復プロセスは、 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle K_{\text{max}}\geq K_{\text{Ic}}.}$

この失敗基準が満たされると、シミュレーションは停止します。

疲労寿命予測プロセスの概略図を図 3 に示します。

SENT試験片（図4参照）の疲労き裂成長時の応力集中係数は^{[5]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{I}&=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]},\\\Delta K_{I}&=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$

計算には以下のパラメータが考慮される

${\displaystyle a_{0}=5}$んー、んー、んー、、、${\displaystyle W=100}$${\displaystyle h=200}$${\displaystyle K_{\text{Ic}}=30{\text{ MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$${\displaystyle R={\frac {K_{\text{min}}}{K_{\text{max}}}}=0.7}$

${\displaystyle \Delta \sigma =20}$MPa 、、。 ${\displaystyle C=4.6774\times 10^{-11}{\frac {\text{m}}{\text{cycle}}}{\frac {1}{({\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}})^{m}}}}$${\displaystyle m=3.874}$

臨界亀裂長さは、次の ように計算できる。${\displaystyle a=a_{c}}$${\displaystyle K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}}$

${\displaystyle a_{c}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg (}{\frac {0.45}{\beta }}{\Bigg )}^{2}.}$

上記の式を解くと、臨界亀裂長さは次のように得られます。 ${\displaystyle a_{c}=26.7{\text{mm}}}$

さて、パリ＝エルドアンの方程式を適用すると、

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C(\Delta \sigma )^{m}({\sqrt {\pi }})^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{a^{\frac {m}{2}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]}^{m}}}}$

上記の式を数値積分すると、破損までの総荷重サイクル数は として得られます。 ${\displaystyle N_{f}=1.2085\times 10^{6}{\text{ cycles}}}$

• Forman, RG; Shivakumar, V.; Cardinal, JW; Williams, LC; McKeighan, PC (2005). 「損傷許容度解析のための疲労き裂成長データベース」(PDF) . FAA . 2019 年7 月 6 日閲覧。
• Gallagher, JP; Giessler, FJ; Berens, AP; Engle, Jr, JM「USAF Damage Tolerant Design Handbook: Guidelines for the Analysis and Design of Damage Tolerant Aircraft Structures. Revision B」。2019年7月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年7月9日閲覧。
• 「損傷許容度評価ハンドブック 第 1 巻: 概要、破壊力学、疲労き裂伝播」(PDF)。連邦航空局。1993 年。2019 年7 月 16 日に閲覧。