カルノーの定理（垂線）

カルノーの定理 （ラザール・カルノーにちなんで名付けられた）は、共通の交点を持つ三角形の（延長された）辺に垂直な 3 本の直線に対する必要十分条件を記述する。この定理は、ピタゴラスの定理の一般化とも考えられる。

辺を持つ三角形について、三角形の辺に垂直で共通点 で交差する 3 本の線を考えます。 が 辺 上の 3 本の垂線のペダル点である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}$

上記のステートメントの逆も真です。つまり、方程式が 3 つの三角形の辺上の 3 つの垂線のペダル ポイントに当てはまる場合、それらは共通点で交差します。したがって、方程式は必要かつ十分な条件を提供します。

三角形 が で直角を持つ場合、 で交差する辺に 3 本の垂線、つまり 辺、 に垂直でを通る線、に垂直でを通る線を引くことができます。すると、となり、 したがって、、、となります。すると、カルノーの定理の式からピタゴラスの定理 が得られます。 ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F=A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P_{a}=C}$${\displaystyle P_{b}=A}$${\displaystyle P_{c}=A}$${\displaystyle |AP_{b}|=0}$${\displaystyle |AP_{c}|=0}$${\displaystyle |CP_{a}|=0}$${\displaystyle |CP_{b}|=b}$${\displaystyle |BP_{a}|=a}$${\displaystyle |BP_{c}|=c}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

もう一つの帰結は、三角形の垂直二等分線が共通点で交差するという性質です。垂直二等分線の場合は、であり、したがって上記の式が成り立ちます。つまり、3 つの垂直二等分線はすべて同じ点で交差します。 ${\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|}$${\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|}$${\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|}$

• ウォルゲマス、マーティン編。 （2010年）。Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet (ドイツ語)。ハイデルベルク: Spektrum Akademischer Verlag。 273–276ページ。ISBN 9783827426079. OCLC  699828882.
• アルフレッド・S・ポサメンティエ、チャールズ・T・サルキント（1996年）。『幾何学における挑戦的な問題』ニューヨーク：ドーバー、pp.85-86。ISBN 9780486134864. OCLC  829151719.

• Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot at matheplanet.com (ドイツ語)
• cut-the-knot.org のカルノーの定理
• Interactive Geometry におけるカルノーの定理