ブール行列

数学において、ブール行列はブール代数の要素を持つ行列です。2要素のブール代数を使用する場合、ブール行列は論理行列と呼ばれます。(一部のコンテキスト、特にコンピューター サイエンスでは、「ブール行列」という用語はこの制限を意味します。)

U を非自明なブール代数（つまり、少なくとも 2 つの要素を持つ）とします。要素の交差、和集合、補集合、包含はUで表現されます。V を、Uから取得したエントリを持つn × n行列のコレクションとします。このような行列の補集合は、各要素を補集合化することで得られます。このような 2 つの行列の交差または和集合は、各要素のペアのエントリに操作を適用して、対応する行列の交差または和集合を取得することで得られます。最初の行列の各エントリが 2 番目の行列の対応するエントリに含まれている場合、その行列は別の行列に含まれています。

2 つのブール行列の積は次のように表されます。 $${\displaystyle (AB)_{ij}=\bigcup _{k=1}^{n}(A_{ik}\cap B_{kj})。}$$

ある著者によれば、「任意のブール代数β上の行列は、β0 = {0, 1}上のほとんどの特性を満たす_。その理由は、任意のブール代数は、ある集合Sに対してのブール代数の部分代数であり、n × n行列から同型性を持つからである」^[1]${\displaystyle \beta _{0}^{S}}$${\displaystyle \beta _{0}^{S}\ {\text{to}}\ \beta _{n}^{S}.}$

• R. ダンカン ルース(1952)「ブール行列に関する注記」、アメリカ数学会紀要 3 : 382–8、Jstor リンクMR 0050559
• Jacques Riguet (1954) "Sur l'extension du calcul des relationship binaires au calcul des matrices à éléments dans une algebre de Boole"、Comptes Rendus 238 : 2382–2385

• スタン・ガダー & フレデリック・ラトレモリエール (2009)「ブール内積空間とブール行列」、線形代数とその応用 431 : 274–96 MR 2522576
• DE ラザフォード (1963)「ブール行列の逆行列」、グラスゴー数学協会紀要 6 :49–63 MR 0148585
• TS ブライス (1967)「ブール行列の固有ベクトル」、エディンバラ王立協会紀要 67 : 196–204 MR 0210727
• スティーブン・カークランド &ノーマン・J・プルマン(1993)「非バイナリブール行列の不変量を保存する線形演算子」、線形および多重線形代数 33 : 295–300 doi :10.1080/03081089308818200 MR 1334678
• Kyung-Kae Kang、Seok-Zun Song、Young-Bae Jung (2011)「一般ブール代数上の正則行列の線形保存」、マレーシア数学科学会誌、第 2 シリーズ、34 (1): 113–25 MR 2783783