バーコフの定理（電磁気学）

物理学において、電磁気学の文脈において、バーコフの定理は、電磁気学のマクスウェル場方程式の球対称静的解に関するものです。

この定理はジョージ・D・バーコフによるものです。これは、ソースフリーのマクスウェル方程式の球対称解は必ず静的であるということを述べています。パパス（1984）は、マクスウェル方程式とリー導関数を使用して、この定理の2つの証明を与えています^{[1] 。これは、}バックリアクションのない平坦な計量を取ることによるバーコフの定理（相対性理論）の極限ケースです。

源のないマクスウェル方程式は次のように述べている。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B } &=\mu \varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$

場は球対称なので、球座標における半径距離のみに依存します。場は純粋に半径方向です。なぜなら、対称性には回転に対して不変である必要のある非半径方向成分は不変ではないからです。したがって、場は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=E(r,t)\mathbf {\hat {r}} ,\\\mathbf {B} (\ mathbf {r} ,t)&=B(r,t)\mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}$

回転はゼロでなければならないことがわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times E(r,t)\mathbf {\hat {r}} =0,\\\nabla \times \mathbf {B} &=\nabla \times B(r,t)\mathbf {\hat {r}} =0.\end{aligned}}}$

さらに、ソースフリーのマクスウェル方程式に代入すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&=0,\\-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&=0.\end{aligned}}}$

定数係数で単純に割ると、磁場と電場は両方とも静的であることがわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&=0,\\{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&=0.\end{aligned}}}$

1 形式 と2 形式を次のように定義します。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{i}dr_{i}\\B&=\epsilon _{ijk}B_{i}dr_{j}\wedge dr_{k}\end{aligned}}}$

ホッジスター演算子を用いると、マクスウェル方程式を次のように 書き直すことができる^[2]。

${\displaystyle {\begin{aligned}dB&=0\\d{\star E}&=0\\\star d{\star E}&={\dot {E}}\\dE&=-{\dot {B}}\end{aligned}}}$。

球対称条件は、回転を表す ベクトル場に対するとの回転微分がゼロであることを要求する。${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{i}&=\epsilon _{ijk}r_{j}{\frac {\partial }{\partial {r_{k}}}}\\{\mathcal {L }}_{V}(E)&=0\\{\数学 {L}}_{V}(B)&=0.\end{aligned}}}$

リー微分は、${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{j}(r_{i})&=\epsilon _{jki}r_{k}\\0&={\mathcal {L}}_{V}E_{i}dr_{i}+E_{i}{\mathcal {L}}_{V}dr_{i}\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}V_{j}(dr_{i})\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}d(V_{j}(r_{i}))\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}\epsilon _{jki}dr_{k}\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+\epsilon _{jki}E_{k}dr_{i}\\V_{j}(E_{i})&=-\epsilon _{jki}E_{k}\\\end{aligned}}}$。

したがって、回転と同等であり、ある関数に対して次のように書くことができる。${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle E=g(r^{2},t)r_{i}dr_{i}}$。

ベクトルの成分の積はベクトルの長さに等しいため

${\displaystyle r_{i}r_{i}=r^{2}}$。

そして、方程式に代入して関数を書き直すと${\displaystyle f}$

${\displaystyle E=df(r^{2},t)}$。

の外微分をとると、定義により次のようになる。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle dE=0}$。

そして、マクスウェル 方程式を用いると、${\displaystyle dE=-{\dot {B}}}$

${\displaystyle {\dot {B}}=0}$。

したがって、磁場は静的であることがわかります。同様に、2 番目の回転不変方程式を使用すると、電場は静的であることがわかります。したがって、解は静的である必要があります。